Mathematik: Integralrechnung # Haifischflosse

Question

f(x)=-0.25(x-4)^2+4
g(x)=-1.25(x-5)^2+5

Fläche zwischen den Beiden Funktionen. "Die Haifischflosse".

Intervallgrenzen des Koordinatensystems [0,5] Schrittweite : 0.5

Ansatz nachdem man eine Skizze aufgezeichnet hat :

f(x)=g(x)

-0.25(x-4)^2+4=-1.25(x-5)^2+5

um d(x) zu erstellen.

Bitte um Korrektur meines Denkvorgangs bzw. auch um eine Weiterführung.

Vielen Dank an alle die sich dessen Problem annehmen.

Comments

Ja. Durch Gleichsetzen kommst du zu den Integrationsgrenzen.

Vergleiche dein Resultat dann mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F4*%28x-4%29%5E2%2B4+%3D+-5%2F4*%28x-5%29%5E2%2B5

Answer 1

Meine Skizze würde wie folgt aussehen

f(x) = g(x)
- 0.25·(x - 4)^2 + 4 = - 1.25·(x - 5)^2 + 5
x = 21/4 - √21/4 = 4.104356076

Integral

∫(- 0.25·(x - 4)^2 + 4, x, 0, 3) + ∫(- 0.25·(x - 4)^2 + 4 - (- 1.25·(x - 5)^2 + 5), x, 3, 21/4 - √21/4) = 8.596 FE

Comments

Dankeschön vorweg, jedoch hätte ich gerne eine genauere Erläuterung beim Verwenden der binomischen Formel.

Meines Wissens nach muss die 2te binomische Formel verwendet werden, wegen dem "-" in der Klammer, denn dort stagniere ich.

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Ja.

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Achtung bei faktoren vor der binomischen Formel

c*(a - b)^2 = c*(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2

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8.596 FE  <-------- Auf das Ergebnis komme ich nicht.

Die Fläche die berechnet werden soll entspricht der Haifischflosse.

Also nachdem man die Intervallgrenzen herausgefunden hat, verwendet man sie einmal bei f(x) [0;4,10]

und bei g(x) [3;4.10].

Aber zuerst muss man doch die beiden Funktionen integrieren.(Stammfunktion bilden)

f(x)                                                                          g(x)

∫(-0.25(x-4)^2+4)                                                ∫(-1.25(x-5)^2+5)

=[-0.25x(x-4/3)^3+4x]                                         =[-1.25x(x-5/3)^3+5x]

f(x)  [0;4.10]                                           |    g(x) [3;4.10]

(-0.25*4.10(4.10-4/3)^3+4*4.10) -         |  (-1.25*4.10(4.10-5/3)^3+5*4.10) -

(-0.25*0(0-4/3)^3+4*0)                          |  (-1.25*3(3-5/3)^3+5*3)

= 16.40 FE  ....aufgerundet                  | | = 4.53 FE ...aufgerundet


Bei g(x)in diesem Fall wäre die Zwischenlösung = 20.64 - |-16.11|

 da es keine negativ große Flächen gibt wird |-16.11| durch die

Balken automatisch Positiv.


....da wir f(x) mit dem Intervall [0;4.10]  verwendet haben, berechneten wir mehr Fläche als wir benötigen.

Die Fläche die zu viel berechnet wurde entspricht der Fläche von g(x) mit den Intervallen [3;4.10],

infolgedessen ziehen wir die Fläche g(x)[3;4,10] von der größeren Fläche f(x)[0;4,10] voneinander ab und erhalten als Endergebnis die gewünschte Fläche "Haifischflosse".

   16.40 - 4.53   = 11.87 FE     <--------------------------------------------------------------

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Ich bitte um eine Korrektur.

 

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Du hast deine Stammfunktionen falsch gebildet. Wenn dir das mit Kettenregel zu schwer ist multiplizier die binomischen Formeln zuerst aus.

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f(x)= -0.25*(x-4)^2+4                             das selbe mit g(x).......

=-0.25*(x^2-2*x*4+4^2)+4

=-0.25*(x^2-8x+16)+4

=x^2+2x-4+4

=x^2+2x <----- das Integrieren ?

und wie oben aufgeführt weiter berechnen ?

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Ich habe etwas rumexperimentiert und bin auf ein Weg gestoßen der als Ergebnis deinem Ergebnis sehr nahe kommt.


d(x)  integrieren    =   (1/3 x^3 - 10.5/2 x^2 +26.25x)

  Intervalle   [0;4.10]

Integral  =  (1/3 * (4,10)^3 - 10.5/2 * (4,10)^2 +26.25 * (4,10)

            =   42.35 FE  gerundet


dann nehme ich noch die g(x) komplett  mit der 2ten binomischen Formel ausmultipliziert.

g(x) =  x^2 +12.5x-26.25

g(x) nun integrieren =  1/3 x^3 +12.5/2 x^2 - 26.25x

Intervalle [3;4.10]

Integral = ( 1/3 * (4,10)^3 +12.5/2*(4.10)^2 - 26.25 * (4.10)) - ( 1/3 * (3)^3 + 12.5/2 * (3)^2 - 26.25 *(3)

            =   33.91 FE


Wenn ich nun 42.35 FE - 33.91 FE  = 8.44 FE <----------------------

Ooooooohhhhhhh...........:D