Volumensintegral Funktionen Kurve Tangente

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,25x^2-2x+4; x e R. Die zugehörige Kurve heißt Kf a) Bestimme die gemeinsamen Punkte der Kurve mit den Koordinatenachsen sowie die Gleichung der Tangenten im Schnittpunkt Y mit der y Achse. b) Zeichne die Parabel und die Tangente im Punkt Y für x E [-1,6] c)Die Tangente in Y, die Parabel und die x Achse schließen ein Flächenstück ein. Berechne den Inhalt. d) Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers, wenn die in Teilaufgabe c beschriebene Fläche um die x Achse rotiert? e) Der Drehkörper aus d wird nun durch Ebenen senkrecht zur x Achse geschnitten. Welche dieser Ebenen schneidet aus dem Drehkörper die Figur mit dem größten Flächeninhalt aus?

Answer 1

a) f(0) = 4 - Gemeinsamer Punkt mit der y-Achse Y(0|4)

0 = 0,25x² - 2x + 4 |·4

0 = x² -8x + 16 = (x-4)² |√

0 = x - 4 → x = 4 - Gemeinsamer Punkt mit der x-Achse (4|0)

Steigung bei x = 0 bestimmen durch Bilden der Ableitung

f'(x) = 0,5x -2

f'(0) = -2

Tangente durch Y: y = -2x + 4

b)

c) Das gesuchte Flächenstück ist das Integral von f von 0 bis 4 minus das Integral der Tangente von 0 bis 2.

F(x) = 1/12x³ - x² +4x, F(4) = 64/12 - 16 + 16

T(x) = -x² + 4x, T(2) = -4+8 = 4

Also A = 64/12 - 4 = 16/12 = 1,25.

d) Man bestimmt das Rotationsvolumen durch das Integral zwischen a und b von Pi multipliziert mit der Funktion zum Quadrat. Also hier:

Integral von 0 bis 2 (π·(0,25x² - 2x + 4 + 2x - 4)²) = Integral von 0 bis 2 (π·1/16x⁴) = 5π/16 · 2⁴ = 5π

Integral von 2 bis 4 (π·(0,25x² - 2x + 4)²) = Integral von 2 bis 4 (π·(0,25(x-4)²)²) = Integral von 2 bis 4 (π·1/16(x-4)⁴) = Integral von 2 bis 4 (π·1/16(x⁴ - 16x³ + 96x² - 256x + 256)) = π/16 · (1/5x⁵ - 4x⁴ + 32x³ - 128x² + 256x) von 2 bis 4 = π/16 · (0,2·4⁵ - 4·4⁴ + 32·4³ - 128·16 + 256·4 - 0,2·2⁵ + 4·16 - 32·8 + 128·4 - 512) = 0,4π

Also ist das Gesamtvolumen 5,4π.

e) Hier liegt der größte Flächeninhalt dann vor, wenn die Differenz der beiden Graphen bzw. des Graphen und der x-Achse maximal ist, was eindeutig bei x=2 ist, wie du auch der Zeichnung entnehmen kannst.

 

Hoffe du kannst einigermaßen folgen.

LG Florian