max(min) x+y unter der Nebenbedingung x^2 + y = 1 mit Lagrange

Question

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Lösungen zu den notwendigen Bedingungen des Problems max(min) x+y unter der Nebenbedingung g(x,y) = x² + y = 1

Was ich bisher erhalten habe:

L= x + y - λ(x² + y - 1)      

L_x' = 1-2λx = 0                  (1)

L_y' = 1 - λ = 0                     (2)

Aus (2) folgt: λ=1  (3)

aus (1) folgt: x = 1/(2λ)  (4)

setze ich nun (3) in (4), so erhalte ich x= 1/2 und aus der Nebenbedingung folgt: y=3/4

Somit hat man den Kandidaten (1/2, 3/4)

 

Doch da in (2) y frei ist, kann es ja auch sein, dass y = 0, nicht? Ich würde dann die Kandidaten (1,0) und (-1,0) erhalten. Minimieren diese die Funktion? Kann ich dies überhaupt so machen?

 

Weiter ist mir immer unklar bei der Formulierung max(min), ob man jetzt maximieren oder minimieren muss.

Answer 1

Du brauchst noch eine dritte Gleichung, die durch die Nebenbedingung gebildet wird.

Dann hast Du drei Gleichungen und drei Unbekannte.

Man kommt dann auf das von Dir genannte Wertepaar: (1/2;3/4)

Da immer alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, ist dies die einzige Lösung. Die anderen sind keine Lösungen.

Um festzustellen, ob es sich um nen Min oder Max handelt beispielsweise die Umgebung anschauen.

Grüße

Answer 2

Bestimmen Sie die Lösungen zu den notwendigen Bedingungen des Problems max(min) x+y unter der Nebenbedingung  \(x^2 + y = 1\)

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

Zf:    \(f(x,y)=x+y\) soll extremal werden. NB:  \( y = 1-x^2\)

\(f(x)=x+1-x^2\)     \(f'(x)=1-2x\)     \(1-2x=0\)

Maximum bei \(x=\frac{1}{2}\)            \( y = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)