Zeigen, dass die lineare Abbildung ε: K^n→K^m nicht surjektiv ist, wenn n<m

Question

Halli hallo hallöchen,

ich brauche bitte Hilfe bei der Aufgabe:

ε: kⁿ→k^m sei eine lineare Abbildung.

zu zeigen: wenn m>n, dann ist ε nicht surjektiv.

Wie genau gehe ich hier vor?

Dankeeee

Answer 1

Der Bildraum dieser linearen Abbildung kann höchstens die Dimension n (nicht m) haben. Darum ist die Abbildung sicher nicht surjektiv.

Comments

Danke. Also wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann kann eine Abbildung z.B. φ:A→B nur surjektiv sein, wenn A gleich viele oder Mehr Elemente enthält, als B. Ist das so richtig?

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Ich würde das vorsichtiger formulieren:

"kann eine lineare Abbildung z.B. φ:A→B nur surjektiv sein, wenn A gleich viele oder mehr Basiselemente enthält, als B. "

Grund für die Vorsicht: Bei unendlich vielen Elementen kann man nicht so genau zählen. Unendlich + 2 ist immer noch unendlich.