Allgemeine Formel für die Ableitung eines Produktes von n diffbaren Funktionen

Question

Hi Community,

meine Aufgabe lautet wie folgt:

(i)

Ermitteln Sie eine allgemeine Formel für die Ableitung eines Produktes g(x) =∏_i=1,...,n f_i(x)
von n differenzierbaren Funktionen f_{1, ...,} f_n : D → R und beweise dies mittels
vollständiger Induktion.

Meine Ideen zu (i) waren zum einen die Induktion (samt IV und IB) an g(x) durchzuführen oder zum anderen die Leibnizregel näher zu betrachten. Beides wurde ziemlich kaltschnäuzig von meinem Übungsleiter zurückgewiesen. 

Jetzt habe ich noch nicht mal einen validen Ansatz. Was könnte ich denn aus der Aufgabenstellung ziehen?

 

Danke für die Hilfe :)

Georg

 

Answer 1

ich vermute 

g'(x) = ∑ _{i=1 bis n} (f_i'(x)/f_i(x) * ∏ _{j=1 bis n} f_j(x))

also mit den Funktionen a bis e

(a·b·c·d·e)' = a'·b·c·d·e + a·b'·c·d·e + a·b·c'·d·e + a·b·c·d'·e + a·b·c·d·e'

Nun müsstest du es zeigen, dass es für n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass es für n gilt.

Answer 2

g(x) =∏_i=1,...,n f_i(x) 

Du kannst hier die Produktregel n-1 mal anwenden und kommst so wegen dem Assoziativgesetz für die Multiplikation in IR auf:

g'(x) = f₁'(x) * f₂(x)*.....*f_n(x) + f₁(x) *f ₂' (x)* f₃(x) … f_n(x) + … + f₁ (x) * f₂ (x)*…f_n-1(x) * f_n'(x)

[Bei den Summanden ist jeweils nur einer der Faktoren abgeleitet.]

Wenn in der Fragestellung ein Induktionsbeweis verlangt ist, kommst du nicht darum herum einen zu machen.

Für n=2 hast du ja die Produktregel.

(f₁(x)*f₂(x) )' = f₁' (x)*f₂(x) + f₁(x)*f₂'(x)

Induktionsschritt n -----> n+1

Wieder Produktregel anwenden

(g(x)*f_n+1(x)) ' =(∏_i=1,...,n f_i(x)) ' *f_n+1(x) + (∏_i=1,...,n f_i(x))*f '_n+1(x)  

= f₁'(x) * f₂(x)*.....*f_n(x)*f_n+1(x) + f₁(x) *f ₂' (x)* f₃(x) … f_n(x)*f_n+1(x) + … + f₁ (x) * f₂ (x)*…f_n-1(x) * f_n'(x)*f_n+1(x) + f₁ (x) * f₂ (x)*…f_n-1(x) * f_n(x)*f_n+1' (x) 

 

Automatisch enthalten die ersten n Summanden n+1 Faktoren wobei nach Indvor. jeweils einer der Faktoren abgeleitet ist (nicht der letzte) . Im letzten Summanden ist nur der n+1-te Faktor abgeleitet. Somit kommen im Resultat alle Produkte der n+1 Funktionen (mit jeweils einem abgeleiteten Faktor) einmal vor. qed 

 

Comments

die Umformung ist total klar, aber leider der Induktionsschritt noch nicht - kannst du den etwas ausführlicher darstellen?

 

Habe dasselbe Problem wie der Aufgabensteller oben.

---

@Anonym. Ich kann hier nicht mehr machen als einfach einsetzen und das Zeugs färben. Hoffentlich kommst du jetzt nach.