Kombinatorik. Kombination mit Wiederholung: 5 gleiche Äpfel sollen auf 3 Studenten verteilt werden.

Question

Tach die Damen und Herren,

bin mir bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

1) 5 gleiche Äpfel sollen auf 3 Studenten verteilt werden.

Auf wie viele Möglichkeiten ist das Möglich?

2) 5 Kanichen die man nicht unterscheiden kann sollen auf 7 Erdhöhlen verteilt werden?

Auf wie viele Möglichkeiten ist das Möglich?

Ansatz: Kombination mit Wiederholung

(n+k-1)! / (k! *(n-1)!)

Was ist hier n und was k???

Bitte ein oder zwei Erklärungen dazu. Danke.

Answer 1

1. Überlege so:

Du hast die 5 Äpfel in einer Reihe nebeneinander.

0 0 0 0 0
Nun nimmst du für den ersten Studenten von links her ein paar Äpfel weg

0 0 0 x 0 0

und nun nochmals ein paar für den 2. Studenten

0 0 0 x 0 0 x     
Nun sind gerade keine Äpfel mehr auf dem Tisch. Der 3. bekommt also nichts.

Weitere Möglichkeit. Der erste bekommt nur 1 Apfel, der zweite nichts und der dritte 4:
würde so codiert:

0 x x 0 0 0 0

Jede Möglichkeit der Aufteilung entspricht einer Anordnung von 7 Symbolen. Zwei mal x und vier mal 0.
Das geht nun auf (7 tief 2) = 7! /(5! * 2!) Arten.

Also n ist die Zahl der Studenten und k die Zahl der ununterscheidbaren Äpfel.

Ich nehme an, dass du 2. nun selbst kannst.

2) 5 Kanichen die man nicht unterscheiden kann sollen auf 7 Erdhöhlen verteilt werden?

Die 7 Erdhöhlen kann man unterschieden. Daher n=7.

5 Kaninchen sind ununterscheidbar. Daher k=5.

Du rechnest  11! / (5! * 6!)

Comments

Hi, vielen Dank erstmal für deinen Ansatz, nur leider bringt mich das noch nicht weiter.

Warum ist bei den Äpfeln das k=2? Wenn dann sollten es doch 3 sein oder? Aber wenn das so ist, warum sind hier nicht auch die ununterscheidbaren Äpfel das k wie in der anderen Aufgabe die ununterscheidbaren Kaninchen?

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2 ist das n-1 und k ist 5.

Ich schreibe oben mal 7!/(5! * 2!). Das passt dann besser zu deiner Formel.
Allerdings gilt ja 5!*2! = 2!* 5!

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Ok....

Aber 5!*2! = 2!* 7! ???

Kannst du da bitte noch einmal nachhelfen?

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Selbstverständlich: Allerdings gilt ja 5!*2! = 2!* 5!

Answer 2

n ist immer die Anzahl an Optionen die man pro Zug hat

k ist immer die Anzahl der Ziehungen.

1) 5 gleiche Äpfel sollen auf 3 Studenten verteilt werden.

Wählst du jetzt für jeden Studenten den Apfel den er essen soll, oder für jeden Apfel den Studenten der ihn essen soll. Letzteres ist hier der Fall weil die Äpfel verteilt werden sollen. Dann kann kein Apfel über bleiben.

n = 3 ; k = 5

(3 + 5 - 1 über 5) = 21

2) 5 Kanichen die man nicht unterscheiden kann sollen auf 7 Erdhöhlen verteilt werden?

Wählt man jetzt für jedes Kaninchen das Erdloch oder für jedes Erdloch das Kaninchen? Hier ist ersteres der Fall. Es kann ja nicht sein das sich Erdloch 1 und 2 für das selbe Kaninchen entscheiden.

n = 7 ; k = 5

(7 + 5 - 1 über 5) = 462

Du siehst es kommt hier sehr darauf an was n und was k ist. Es ist nicht immer so dass n größer oder gleich k ist, wie beim Lotto-Modell. Dort kann nicht mehr Kugeln ziehen als überhaupt vorhanden sind. 

Dieses Modell ist aber mit Zurücklegen und dann kann man auch öfter ziehen als überhaupt Kugeln vorhanden sind.

Comments

Du kannst ja mal die Aufgaben abwandeln

1) 5 unterscheidbare Äpfel sollen auf 3 Studenten verteilt werden. 

2) 5 Kanichen die man unterscheiden kann sollen auf 7 Erdhöhlen verteilt werden?

Wie würdest du jetzt rechnen? Was ist n und was ist k. Vergleiche mit der Aufgabe wo nicht unterschieden werden kann.

 Stellst du etwas fest?

Answer 3

Dass da nicht mal jeder wenigstens einen Apfel erhalten sollte, ist doch irgendwie störend. Wäre es an mir, die Verteilung durchzuführen, würde jeder Student einen ganzen und einen halben Apfel erhalten. Den verbleibenden halben Apfel würde ich selber essen ...