Welche Abbildungen sind linear? h: R^2 -> R^3, (x,y) I-> (x+1, 2y, x+y)

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen Sie Ihre Antwort.

\( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R},\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto x_{1}+\cdots+x_{n} \)
\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1} \cdot x_{n} \)
\( h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{1}+1,2 x_{2}, x_{1}+x_{2}\right) \)
\( l: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+2 x_{4}, 2 x_{2}+x_{3}, x_{1}+x_{3}\right) \)

Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension von Bild und Kern und geben Sie Basen zu diesen Unterräumen an.

Comments

Du musst einfach nur die Kriterien für die Linearität einer Abbildung überprüfen. Du kannst auch

$$\phi(\lambda x + \mu y ) = \lambda \phi(x) + \mu \phi(y)$$

zeigen,

denn $$\phi(\lambda x + \mu y ) = \lambda \phi(x) + \mu \phi(y) \Leftrightarrow \phi~linear$$

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Dann muesste ja 1 und 3 und 4 linear sein oder??

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\(h\) ist nicht linear. Bei \(g\) weiß man nicht, was \(x_n\) sein soll.

Answer 1

Zu f : Eine Abbildung von |R ^ n in den Grundkörper ist ein Zeilenvektor oder Zeilenmatrix vom Format 1 X n  ( n Spalteneinträge )  Dieser Vektor besteht nur aus Einsen; wenn du bitte die Regeln der Matrizenmultiplikation " Matmul " beachtest. Also ja.
    Ach so; das Bild ist eindimensional; und der Kern hat somit nach Formel Dimension 4 . Basis müssteste dir jetz mal alleine schnitzen.

    g ist  eine ===>  homogene quadratische Form  ( HQF )  HQF sind immer ===> kegelschnitte; in unserem Fall eine Hyperbel. Dagegen sind ja lineare Abbildungen homogene Linearformen; also nein.

   Zu h . Wie dusiehst, lasse ich mich in keinem Falle auf die ursprüngliche Definition ein. Homogene Form, welcher Ordnung auch immer, bedeutet


         ( 0 | 0 ) ===>  ( 0 | 0 )    ( 1 )


     Machen wir es ganz formal korrekt.  Sei A eine lineare Abbildung; dann hast du sicher immer


          k * 0 = 0   (V)   k €  K   ( 2a )


       wobei K der Grundkörper sein soll.
     
         " Null Mal irgendwas gibt immer Null. "



           A ( 0 )  =  A (  k  *  0  )  =  k  *  A  (  0  )      ( 2b )


      Wenn ich jetzt in ( 2b )  setze


      A  (  0  )  =:  x   ( 2c )

     
       dann steht da doch


      x  =  k x    ( 2d )


    und wenn k beliebig ist, lässt das eben nur die Lösung zu x = 0
     Hier ich bin ja immer der Axiomatiker vom Amt. Wir sind nämlich schon viel zu weit gegangen; ich habe nämlich in dir den völlig schiefen eindruck erweckt, dass " A ( 0 ) = 0 "  Ausfluss der skalaren Multiplikation sei - mitnichten.

Erinnern wir uns, dass ein Vektorraum V mit Addition als Verknüpfung völlig " autonom, ohne Bezug auf seine Umwelt " eine gruppe bildet. Und was heißt denn das?

A  ( u + v ) = A u + A v   ( 3a )

Das heißt doch nichts anderes, als dass diese linearen Abbildungen AUCH  ===> Gruppenhomomorphismen von V sind - vielleicht solltest du dir dieses ganze Kapitel doch nochmal zu Gemüte führen.

Und  Gruppenhomomorphismen haben es so an sich, dass sie das Neutrale e immer wieder auf das Neutrale e '  abbilden

f ( e ) = e '    ( 3b )

Unser Neutrales war ja wie gesagt die Null.

Und jetzt setz doch mal in Beispiel h

x1 = x2 = 0     ( 4a )

h ( 0 | 0 )   =  (  1  |  0  )    ( 4b )

Streng genommen stand da übrigens, Zielmenge ist  |R ³  Das ist also jetzt ein formal juristischer Verstoß

l wäre zwar linear; aber auch hier srteht wieder Zielmenge |R ³