Differenzialrechnung ganzrationale Funktion

Question

folgendes Problem:

Die Aufgabe lautet "Der Graph einer zur Ordinatenachse achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft durch den Ursprung und hat einen Hochpunkt H(2/4). Bestimmen sie die Funktionsgleichung."

 

Ist es richtig, dass da die Funktion achsensymmetrisch zur Ordinatenachse ist nur gerade Potenzen aufweist?

also in diesem Fall ax⁴ + cx² + e

Ich habe den Hochpunkt H(2/4) wegen der Achsensymmetrie doppelt genommen, also H₂(-2/4).

Ich habe folgende Gleichungen:

HP1: 0 = 32a+4c

HP2: 0 = -32a -4c

P(0/0): 0 = e

Als Ergebnis vom Gauß Algorithmus bekomme ich für c und für a 0 heraus. Kann das sein? Oder habe ich hier einen Fehler?

Würde mich über eine schnelle Antwort freuen! :-)

Answer 1

 

da die beiden Gleichungen

0 = 32a + 4c

und

0 = -32a - 4c

bis auf das Vorzeichen identisch sind, fehlt Dir letztlich eine Information von den dreien, die Du brauchst.

 

Machen wir es so:

f(x) = ax⁴ + cx² + e

f'(x) = 4ax³ + 2cx

I. f(2) = 4 = 16a + 4c + e | Punkt (2|4)

II. f(0) = 0 = e | Graph verläuft durch Ursprung

III. f'(2) = 0 = 32a + 4c | Hochpunkt

 

Nun haben wir also noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

III. 32a + 4c = 0

I. 16a + 4c = 4

 

III. - I.

16a = -4

a = -1/4

 

Das in I.

-4 + 4c = 4

4c = 8

c = 2

 

Die Funktion lautet also

f(x) = -1/4 * x⁴ + 2x²

 

 

Besten Gruß

Comments

Perfekt erklärt! :-)

Vielen lieben Dank!!

Liebe Grüße

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Sehr gern geschehen!

Der Mathecoach hat es in einem Kommentar auch noch einmal schön erklärt!!

Answer 2

Die Aufgabe lautet "Der Graph einer zur Ordinatenachse achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

verläuft durch den Ursprung und 

f(0) = 0
c = 0

hat einen Hochpunkt H(2/4). 

f(2) = 4
16·a + 4·b + c = 4

f'(2) = 0
32·a + 4·b = 0

Bestimmen sie die Funktionsgleichung."

Die Lösung des LGS ist hier: a = -0.25 ∧ b = 2 ∧ c = 0

Die Funktion lautet demnach: f(x) = - 0.25x^4 + 2x^2

Comments

danke für die Antwort,

Also hast du den Hochpunkt doppelt genommen da er auch als normaler Punkt der Funktion gilt?

Ist es denn falsch neben dem Hochpunkt noch H₂(-2/4) zu nehmen? Denn theoretisch gibt es diesen doch wegen der Symmetrie oder?

LG

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Siehe bitte meine Antwort:

-32a - 4c = 0

bringt keinen Informationsgewinn, da wir ja schon

32a + 4c = 0

wissen.

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Wenn du im Funktionsterm nur die geraden Exponenten hast dann darfst du H₂(-2/4) nicht mehr als Bedingung nehmen, weil diese dann durch den Spiegelpunkt schon erfüllt ist. Dann langt ein Punkt.

Ein Hochpunkt hat 2 Bedingungen. Den Punkt an sich und dann das dort ein Extrema ist.