Vereinfachung eines Terms - Cournot Duopol

Question

Ich lerne gerade für meine Mikroökonomie Klausur und bin beim Oligopol, genauer gesagt beim Cournot Duopol. Leider schaffe ich es nicht den banalen Term für die Menge zu vereinfachen.

\( x_{i}=\frac{a-b \frac{a-b x_{i}-c}{2 b}-c}{2 b} \Longleftrightarrow x_{i}^{*}=\frac{a-c}{3 b} \),

Answer 1

So geht's:

$${ x }_{ i }=\frac { a-b\frac { a-b{ x }_{ i }-c }{ 2b } -c }{ 2b }$$Gleichung mit 2b multiplizieren:$$\Leftrightarrow 2b{ x }_{ i }=a-b\frac { a-b{ x }_{ i }-c }{ 2b } -c$$Den verbliebenen Bruch mit b kürzen:$$\Leftrightarrow 2b{ x }_{ i }=a-\frac { a-b{ x }_{ i }-c }{ 2 } -c$$Gleichung mit 2 multiplizeren:$$\Leftrightarrow 4b{ x }_{ i }=2a-(a-b{ x }_{ i }-c)-2c$$Klammer auflösen:$$\Leftrightarrow 4b{ x }_{ i }=2a-a+b{ x }_{ i }+c-2c$$Auf beiden Seiten b x_i subtrahieren und rechte Seite zusammenfassen:$$\Leftrightarrow 3b{ x }_{ i }=a-c$$Gleichung durch 3 dividieren:$$\Leftrightarrow { x }_{ i }=\frac { a-c }{ 3b }$$

Comments

ich dank dir vielmals - das ist eine große Hilfe.

was ich nur noch nicht ganz verstanden habe ist, wenn du mit 2 multiplizierst, warum ist der term in der mitte davon unberührt?! =(((

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Meinst du den Term \(\frac { a-b{ x }_{ i }-c }{ 2 }\) ?

Der wird doch aber dadurch mit 2 multipliziert, dass man den Nenner 2 weglässt ... genauer gesagt dadurch, dass man den Term nach dem Multiplizieren mit 2 kürzt:

$$\frac { 2(a-b{ x }_{ i }-c )}{ 2 } = a-b{ x }_{ i }-c$$