Anfgabe:
Ein Monopolist biete zwei Produkte \( A \) und \( B \) an, für die folgende Preis-Absatz-Funktionen gelten:
\( \begin{array}{l} p_{A}\left(x_{A}\right)=48-4 x_{A} ; x_{A} \in[0 ; 12] \\ p_{B}\left(x_{B}\right)=44-2 x_{B} ; x_{B} \in[0 ; 22] \end{array} \)
Die Herstellung beider Produkte erfolgt auf einer Produktionsanlage, deren fixe Kosten 100 Geldeinheiten (GE) betragen. An variablen Kosten verursacht A 8 GE/ME, B 12 GE/ME.
Ermitteln Sie für beide Güter die Gewinn-maximale Preis-Mengenkombination sowie den Gewinn.
Lösung:
\( U\left(x_{A}, x_{B}\right)=p_{A} \cdot x_{A}+p_{B} \cdot x_{B}=48 x_{A}-4 x_{A}^{2}+44 x_{B}-2 x_{B}^{2} \)
\( K\left(x_{A}, x_{B}\right)=8 x_{A}+12 x_{B}+100 \)
\( G\left(x_{A}, x_{B}\right)=-4 x_{A}^{2}-2 x_{B}^{2}+40 x_{A}+32 x_{B}-100 \)
\( G_{x_{A}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=-8 x_{A}+40 \quad G_{x_{A} x_{A}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=-8 \)
\( G_{x_{B}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=-4 x_{B}+32 \quad G_{x_{B}, x_{B}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=-4 \)
\( G_{x_{A} x_{B}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=0 \)
Notwendige Bedingung:
I \( 0=-8 x_{A}+40 \Leftrightarrow x_{A}=5 \)
II \( 0=-4 x_{B}+32 \Leftrightarrow x_{B}=8 \)
Hinreichende Bedingung:
\( D\left(x_{A}, x_{B}\right)=(-8) \cdot(-4)-0^{2}=32> \) immer 0
\( G_{x_{A} x_{A}}\left(x_{A}, x_{B}\right)=-8<_{\text {immer }} 0 \)
d.h. glob. Max in \( (5 ; 8) \) Gewinn-maximale Mengen \( x_{A}=5 \mathrm{ME} \) und \( x_{B}=8 \mathrm{ME} \) Gewinn-maximale Preise \( p_{A}=28 \mathrm{GE} \) und \( p_{B}=28 \mathrm{GE} \) maximaler Gewinn \( G(5 ; 8)=128 \mathrm{GE} \)
Warum wird bei der Umsatz-Funktion das ra zum Quadrat, also 4r2 und 2r2? Das verstehe ich nicht.
Dann verstehe ich das mit den Hinreichenden Bedingungen nicht. Das D und vorallem das G wieso ist das -8? Verstehe nicht was dort gerechnet wurde :/ Bestimmt man nicht das Max oder Minimum mit der zweiten Ableitung? Sprich 2 Ableitung positiv = Minimum Negativ= Maximum? Weil hier wirds doch anders gemacht oder?
