Definitionsbereich und Umkehrfunktion? 0 = y^2 - 1 + lb(x-1)

Question

Geben Sie für die implizite Form notierte Funktion den Definitionsbereich an und berechnen Sie die Umkehrfunktion.

Bitte um eine Überprüfung und eventuell auch um hilfreiche Tipps!

Aufgabe 1:

$$ 0 = y ^ { 2 } - 1 + \log _ { 2 } ( x - 1 ) \Leftrightarrow y = \sqrt { 1 - \log _ { 2 } ( x - 1 ) } \\ 1 - \log _ { 2 } ( x - 1 ) \geq 0 \\ \frac { \ln ( x - 1 ) } { \ln ( 2 ) } \leq - 1 \\ x \quad \leq \frac { 3 } { 2 } $$

Aufgabe 2:

$$ 0 = y ^ { 2 } - 1 + \log _ { 2 } ( x - 1 ) \Leftrightarrow y = \sqrt { 1 - \log _ { 2 } ( x - 1 ) } \\ \left. \begin{array} { r } { x - 1 > 0 } \\ { x > 1 } \end{array} \right. $$

Aufgabe 3.

$$ 0 = y ^ { 2 } - 1 + \log _ { 2 } ( x - 1 ) \Leftrightarrow y = \sqrt { 1 - \log _ { 2 } ( x - 1 ) } \\ D _ { f } = \{ x | x \epsilon R \wedge \frac { 3 } { 2 } \geq x > 1 \} $$ $$ 0 = y ^ { 2 } - 1 + \log _ { 2 } ( x - 1 ) \\ y ^ { 2 } = 1 - \log _ { 2 } ( x - 1 ) \\ I - y ^ { 2 } = \frac { \ln ( x - 1 ) } { \ln ( 2 ) } \\ \ln ( 2 ) ^ { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) } = \ln ( x - 1 ) \\ f ^ { - 1 } ( x ) = 2 ^ { 1 - x ^ { 2 } } + 1 $$

Comments

Tipp: Du solltest im ersten Schritt auf y = ±√(             ) kommen. Das ist dann keine Funktion mehr. Man kann aber beide 'Äste' umkehren.

Schau auch mal noch bei: https://www.wolframalpha.com/input/?i=0+%3D+y%5E2+-+1+%2B+lb%28x-1%29 rein. und überprüfe dort auch die graphischen Eigenschaften deiner resultierenden Umkehrfunktion.

Answer 1

Anm: lb: Abkürzung für binären Logarithmus

0 = y^2 - 1 + lb(x-1)

y = ±√(1-lb(x-1))        

2 Äste. Symmetrisch bezüglich x-Achse

1. (1-lb(x-1)) ≥ 0    mach ich hier mal anders (richtiger vgl Link im Kommentar)

1 ≥  lb(x-1)       |links und rechts 2^

2^1 ≥ x-1  |+ 1

3 ≥ x.

2. x-1 > 0       stimmt bei deinem Vorschlag

x > 1

Für beide Äste gilt: D = ] 1, 3]

Umkehrfunktion.

 

0 = y^2 - 1 + lb(x-1)           nach x auflösen

1 - y^2 = lb (x-1)           |2^links und rechts

2^{1-y^2} = x -1

1 + 2^{1-y^2} = x

x und y vertauschen

y = 1 + 2^{1- x^2}         Für D = IR⁺ Umkehrfunktion von y = √(1-lb(x-1))  

                                          Für D = IR^- Umkehrfunktion von y = - √(1-lb(x-1))   

Bitte noch überprüfen.

Skizze beider Umkehrfunktionen: