Bestimmen Sie den Konvergenzradius R dieser Potenzreihe mit Fibonaccizahlen

Question

Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe

$$ƒ(z)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { ƒ }_{ n+1 } } { z }^{ n },$$

wobei die f_n die Fibonacci-Zahlen sind. Leiten Sie dazu eine Rekursion für

$${ x }_{ n }:=\frac { { f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 } }$$

her und verwenden Sie die Formel

$${ x }_{ 1 }=1,\quad \quad \quad { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } } ,\quad n\ge 1$$

sowie die Eulersche Formel für den Konvergenzradius. Zeigen Sie ferner, dass für |z| < R die Identität

$$f(z)=\frac { 1 }{ 1-z-{ z }^{ 2 } }$$ gilt.

Comments

Interessante Frage.

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Ja, nur komme ich gar nicht klar :(.

Die Formel die wir verwenden sollen stammt von dieser Aufgabe:

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Am besten, du schaust zunächst, wie ihr den Konvergenzradius definiert habt und ob ihr vielleicht ein spezielles Verfahren zur Bestimmung des Konvergenzradius behandelt habt. (Es ist dann (wie du dir denken kannst) sehr wahrscheinlich, dass du dieses hier anwenden sollst.)

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Aber was hat die Formel denn mit der gesammten Aufgabe zu tun? Lässt die sich ableiten oder muss ich sie einbauen?

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Na, wenn das eine Cauchy-Folge ist, hat das vielleicht Auswirkungen auf die Konvergenz der Reihe.

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Mit dem Quotientenkriterium kommt man da doch schon recht weit:

$$| \frac{ f_{n+2} z^{n+1} }{ f_{n+1} z^n } | = \frac{ f_{n+2} }{ f_{n+1} } |z| \rightarrow ( n \rightarrow \infty )~ \phi |z| < 1 \Leftrightarrow |z| < \frac{1}{\phi}$$

wobei $$\phi = 1,618...$$ der goldene Schnitt ist.

Ist nicht die ganze Aufgabe, aber vielleicht ein Anfang.

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Naja, ist in der Aufgabe halt anders gefragt. Aber den Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und dem goldenen Schnitt sollte man bei der Aufgabe im Auge behalten: https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge

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@Thilo87: Ist das nicht schon die ganze Aufgabe, wenn du $|z| < \frac{1}{\phi}$ angibst, ist doch mit $R \equiv \frac{1}{\phi}$ schon der Konvergenzradius gegeben, oder nicht?

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Ja schon, aber in der Aufgabe ist ja ein anderer Weg gefragt, um darauf zu kommen.

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Die Eulersche Formel beschreibt ja nur eine Koordinatentransformation:  https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel .

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Also ist das schon die richtige Lösung für die Aufgabe?

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Ist hier das Quotientenkriterium mit einer rekursiv gleichzusetzen ?

Scheinbar ist der Konvergenzradius ja das mit dem goldenen Schnitt  aber wie zeige ich das als rekursiv mit der Eulerschen Formel?

Answer 1

$$\text{(1) Definiere }x_n:=\frac{f_n}{f_{n+1}}\text{ für }n>0.$$Offenbar gilt $x_n>0$ für alle $n>0$.$$\text{ Es ist }x_1=\frac{f_1}{f_2}=\frac11=1\text{ und}$$$$\frac1{x_{n+1}}=\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}=\frac{f_n+f_{n+1}}{f_{n+1}}=\frac{f_n}{f_{n+1}}+1=x_n+1\text{, also }x_{n+1}=\frac1{1+x_n}.$$$(2)$ Zeige per Induktion über $n$, dass für alle $n>0$ gilt$${x_n}^2+x_n-1=\frac{(-1)^{n+1}}{{f_{n+1}}^2}.$$Da die Folge der Fibonaccizahlen nach oben nicht beschränkt ist, lässt sich daraus der Grenzwert $g=\lim_{n\to\infty}x_n$ bestimmen. Die Eulersche Formel liefert dann den Konvergenzradius.