Wahrscheinlichkeit: 10 Zellen auf 16 Quadrate verteilt

Question

Biomathematische Aufgabe:

In einem Teil einer Neubauer-Zählkammer mit 16 Quadraten befinden sich 10 Zellen, deren Verteilung auf die Quadrate einer Binomialverteilung entspricht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einem zufällig ausgewählten Quadrat

(a) ... keine einzige Zelle vorzufinden?

(b) ... genau eine Zelle vorzufinden?

(c) ... mehr als zwei Zellen vorzufinden?

(d) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung für die Zellzahl in einem Quadrat.

Meine Lösungen:

1/16=0,0625
15/16=0,9375

(16 über 10)=8008
(16 über 0)=1
(16 über 1)=16
(16 über 2)=120
(16 über 3)=560

P(X=k)=(16, k)·0.0625^k·0.9375^{16 - k}

gerundete Werte:
0, 0,356;
1, 0,379;
2, 0,189;
3, 0,379;

a) P(X=0)=(16, 0)·0.0625⁰·0.9375^16-0=0,356

b) P(X=1) =(16, 1)·0.0625¹·0.9375^16-1=0,379

c) P(X >= 3) = 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0,356-0,379-0,189 =0,076

d) E(X)=n*p=6*0.0625 = 0.375

Standardabweichung:
\( s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \)

Welche Werte werden benötigt? Muss man die Wahrscheinlichkeiten für alle 16 Quadrate angeben? Ich habe oben 0-3 bestimmt, würde dann nur noch der Rest bis 15 fehlen und dann könnte man auch den Mittelwert aus allen 16 Quadraten berechnen und in die Standardabweichung-Formel einsetzen und berechnen.



Neubauer-Zählkammer:


Zufällige Zellen in der Neubauer-Zählkammer:

Ergänzungen:
(16 über 4)=1820
(16 über 5)=4368
(16 über 6)=8008
(16 über 7)=11440
(16 über 8)=12870
(16 über 9)=11440
(16 über 10)=8008
(16 über 11)=4368
(16 über 12)=1820
(16 über 13)=560
(16 über 14)=120
(16 über 15)=16
(16 über 16)=1

Answer 1

COMB(10, k)·1/16^k·(15/16)^{10 - k}

[0, 0.5244604750;
1, 0.3496403166;
2, 0.1048920950;
3, 0.01864748355;
4, 0.002175539748;
5, 0.0001740431798;
6, 9.669065548·10^{-6};
7, 3.683453542·10^{-7};
8, 9.208633855·10^{-9};
9, 1.364242052·10^{-10};
10, 9.094947017·10^{-13}]

a) P(X = 0) = 52.45%

b) P(X = 1) = 34.96%

c) P(X > 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) = 1 - 0.5245 - 0.3496 - 0.1049 = 0.021 = 2.10%

d) E(X) = n * p = 10 * 1/16 = 0.625

S(X) = √(n·p·q) = √(10·1/16·15/16) = 0.7655

Comments

Wenn man für n statt 10→16 verwendet, muss man sich nicht wundern, dass dann logischerweise alles falsch ist. Immerhin habe ich 1/16 und 15/16 am Anfang richtig gehabt. Ich hätte nicht gedacht, dass die Formel der Standardabweichung so kurz ist. Wieder etwas neues dazu gelernt.

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Hast du keine Formelsammlung, wo die wichtigsten Formeln drin sind.

Zum Lernen ist das ganz gut. Später kann man die wichtigsten eh auswendig. Aber ich schaue z.B. auch noch bei den Additionstheoremen immer dauernd nach, weil ich davon etliche nicht auswendig kann.

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Ja, aber leider sind dort diese speziellen Formeln nicht enthalten. Die meisten kann man über das Internet finden, dennoch müssen wir alle Formeln auswendig lernen, da wir weder Formelsammlung noch Taschenrechner in der Klausur benutzen dürfen.

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Ja. Aber zuhause kannst du ja eine Formelsammlung verwenden. Wie gesagt selbst ich verwende immer eine. Zuhause darfst du ja nachschauen. Nur in der Prüfung solltest du sie dann parat haben.