Exponentialverteilung: GAU-Risiko Atomkraftwerk

Question

Angenommen ein Atomkraftwerk berge ein GAU Risiko von \( \lambda=10^{-4} \) pro Betriebsjahr.

(a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass nach der Zeit \( t \) in einem Atomkraftwerk kein GAU aufgetreten ist?

(b) Wie groß ist der Erwartungswert für die Wartezeit bis zu einem GAU?

(c) Angenommen es gäbe weltweit 500 Atomkraftwerke. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass es in hundert Jahren zu keinem GAU kommt?

Meine Lösungsansätze:

λ=10^-4=0,0001
→ 0,9999 Gegenwahrscheinlichkeit

b)
E(X)=1/λ

c)
500→ 1/(500*10^-4)=1/0,05=20%

Answer 1

Exponentialverteilung: GAU Risiko bei Atomkraftwerken

Angenommen ein Atomkraftwerk berge ein GAU Risiko von λ = 10^{-4} pro Betriebsjahr.

Exponentialverteilung
f(x) = λ·e^{- λ·x}

a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass nach der Zeit t in einem Atomkraftwerk kein, GAU aufgetreten ist?

Wahrscheinlichkeit, dass nach t Jahren ein Gau aufgetreten ist
F(x) =  ∫(0 bis x) f(t) dt = 1 - e^{- λ·x}

Wahrscheinlichkeit, dass nach t Jahren kein Gau aufgetreten ist
1 - (1 - e^{- λ·x}) = e^{- λ·x}

b) Wie groß ist der Erwartungswert für die Wartezeit bis zu einem GAU?

E(x) = 1/λ = 10000 Jahre

c) Angenommen es gäbe weltweit 500 Atomkraftwerke. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass es in hundert Jahren zu keinem GAU kommt?

Wahrscheinlichkeit dass es bei einem Kraftwerk in 100 Jahren kein Gau gibt
e^{- 1/10000·100} = 0.9900498337

Wahrscheinlichkeit dass es bei 500 Kraftwerken in 100 Jahren zu keinem Gau kommt
0.9900498337^500 = 0.006737946833 = 0.67%

Comments

Es ist zwar ein schwacher Trost, aber immerhin hatte ich den Erwartungswert richtig aufgestellt, dennoch bin ich nicht auf die 10.000 gekommen. Ich denke die 10.000 stammen von λ=10^-4. Gut, ich werde die Formeln auswendig lernen.

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Eigentlich ist es wichtiger die Formeln zu verstehen als sie auswendig zu lernen. Klar. Für eine Klausur sollte man sie können aber wichtiger ist das man sie versteht.