Bestimmen sie eine Gerade durch den Ursprung, die senkrecht zu g verläuft

Question

$$ g:\quad x=\quad (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{matrix})+a\quad (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) $$

Answer 1

Du musst einfach nur dafür sorgen, dass die Richtungsvektoren senkrecht sind, bzw. ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

z.B.

s: [0, 0, 0] + r * [1, -2, 0]

Comments

ich habe als Lösung dastehen: x=[1/9, 3,556, -1,889]

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dann sollte der Aufgabentext "die Gerade", nicht "eine Gerade" lauten

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steht aber eine Gerade

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Alles klar Lösung ist glaub ich klar.

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Nein, wie kommt man auf die Zahlen x=[1/9, 3,556, -1,889]?

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Dann müsste man noch eine weitere Bedingung mit an Board nehmen.

Bestimmen sie eine Ursprungsgerade, die g senkrecht schneidet.

Dann müsste gelten

[x, y, z] = [1, 4, -1] + a * [2, 1, 2] = [2·a + 1, a + 4, 2·a - 1]

Und ebenso 

[x, y, z] * [2, 1, 2] = 0
[2·a + 1, a + 4, 2·a - 1] * [2, 1, 2] = 0
a = - 4/9

Damit lautet die Gerade

[2·(- 4/9) + 1, (- 4/9) + 4, 2·(- 4/9) - 1] = [1/9, 32/9, - 17/9] = [0.111, 3.556, -1.889]

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Mathecoach: Hatte gar nicht gemerkt, dass du fertiggerechnet hast. Da hätte ich mir die Rechnerei sparen können.

Answer 2

Naja, ist doch relativ klar.

Benutz als Stützvektor den Nullvektor(dann geht deine Gerade garantiert durch den Nullpunkt).

Und dann einen Vektor der Senkrecht zu deinem Stützvektor steht und fertig.

Gleichungssystem ist klar?

2x₁ +x₂ +2x₃ = 0

Welche Zahlen könnten denn das hier lösen?

Kleiner Tipp: x1=-x3 und x2=0 könnte klappen.

Die Zahlen kannse dir selbst ausdenken.

Falls du es ausführlicher brauchst, sag Bescheid!

Answer 3

Beginne mit der senkrechten Ebene E zu g, die senkrecht auf g steht und durch den Ursprung geht: 

E: 2x + y + 2z = 0

Nun schneide diese Ebene mit g

E n g ---> P

2 (1+2a) + (4+a) + 2( -1 + 2a) = 0

2 + 4a + 4 + a - 2 + 4a = 0

4 + 9a = 0

9a = -4

a = -4/9

P (1-8/9 , 4-4/9, -1 -8/9) = P(1/9, 32/9, -17/9) 

Nur die Richtung von OP relevant.

Daher z.B. 9*OP = (1, 32, -17) als Richtungsvektor nehmen.

Daher eine Gleichung der gesuchten Geraden k:

k: r = (0,0,0) + t ( 1, 32, -17)

k: r =  t ( 1, 32, -17)