Berechnen Sie die Gleichung der Ebene, welche die Gerade und den Punkt... enthält

Question

berechnen Sie die Gleichung der Ebene, welche die Gerade und den Punkt (1, 1, 1) enthält.

$$ g(t)=\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}+t\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -5 \end{matrix}\\ E:\quad -3x+y+z=9 $$

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht. Die Gleichung der Ebene ist doch angegeben? Muss ich eine Geradengleichung angeben, welche durch den Punkt (1, 1, 1) geht, dann mit der Ebenengleichung gleichsetzen?

Comments

Für diesen Teil der Aufgabe musst du nur g und P beachten. E ist offensichtlich eine andere Ebenen, auf der nicht mal P liegt.

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E: (5 -3 -1)+t(-1 2 -5)+s(4 -4 -2) stimmt das?

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Die Idee und Rechnung ist richtig. Du musst dann aber schon eine Gleichung (inkl. Gleichheitszeichen) angeben: 

Also E₂: r = (5 -3 -1)+t(-1 2 -5)+s(4 -4 -2)
Einfacher wäre noch
E₂: r = (5 -3 -1)+t(-1 2 -5)+s(2 -2 -1)

r = (x,y,z) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf E₂.

Wenn du willlst, darfst du diese Parametergleichung noch in eine Koordinatengleichung umwandeln.

Answer 1

Hi, es ist eine Ebene angegeben; offenbar ist sie nicht die gesuchte. Eine Darstellung der gesuchten Ebene kannst Du wie gewohnt aus Gerade und Punkt zusammensetzen. Wie lautet die exakte Aufgabenstellung?

Comments

Gegeben sei die Gerade g (siehe oben)

a) Untersuchen Sie, ob g parallel zur Ebene (siehe oben) ist.

b) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene, welche die Gerade und den Punkt (1, 1, 1) enthält.

Lu scheint recht zu haben. Es sind getrennte Teilaufgaben.

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Ok, wenn es so ist, dann gilt folgendes:

zu a) Die Gerade g ist genau dann parallel zur Ebene E, wenn der Richtungsvektor von g orthogonal zum Normalenvektor von E ist. Beide Vektoren sind bekannt, ihr Skalarprodukt kann leicht berechnet werden.

zu b) Mit der Parallelität aus a) muss der Normalenvektor der Ebene E auch ein Normalenvektor der hier gesuchten Ebene sein. Zusammen mit dem Stützvektor (1 1 1)^t lässt sich daher für die gesuchte Ebene leicht eine Darstellung in Normalen- und in Koordinatenform finden.