Beweise: Eulers Identität für alle x gilt: (-1)^{x} = e^{i π x}

Question

Beweise diese Formel gilt für alle x in N Z Q R I T C

\( (-1)^{x}=\boldsymbol{e}^{(i \pi) x} \)

Comments

I = 'imaginäre Achse' ?

Wofür steht T?

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Ich könnte mir vorstellen das T für den Transzendenten Zahlen steht. I vielleicht für die Imaginären. Aber eigentlich ist doch hier die größe Obergruppe die Menge der Komplexen Zahlen. Wenn das T und das I also nichts außergewöhnliches ist dann bräuchte man es nur für die Komplexen Zahlen zeigen.

N, Z, Q und R sind ja mit Sicherheit Teilemngen von C. Bei I und T kommt es halt auf die Definition an die ich momentan nicht kenne.

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Wie ist denn überhaupt sowas wie \( (-1)^i \) oder \( (-1)^{1/3} \) definuiert?

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\( (-1)^{1 / x}=e^{\frac{i \pi}{x}} \)

T = Transzendente Zahlen , I = Imaginäre Zahlen

Answer 1

e^{iπ} = cos(π) + isin(π) = -1 + 0*i = -1

entspricht der 'normalen' Definition in der Schule.

Und nun müsstest ihr eigentlich nur die Potenzgesetze in C bewiesen haben, um zu zeigen, dass

e^{iπx} = (e^{iπ})^x = (-1)^x

Gib am besten alle Rechengesetze an, die ihr für C schon bewiesen habt, und auch eure Definitionen, wenn da noch ein Teil fehlt. In einem solchen Beweis solltest du dich auf die bewiesenen Formelnummern beziehen.

Vgl. auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5Ex