Konstanten bestimmen, sodass Funktion stetig wird

Question

Ich habe die folgende Funktion gegeben:

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{x}{2\pi}sin(\frac{x}{2}),\enspace x\leq-\pi\\ a(x-b)cos(x), \enspace -\pi < x \leq 0 \\ \frac{tan(3x)}{sin(2x)}, \enspace x > 0 \end{array}\right. $$

Jetzt soll ich die Konstanten \(a\) und \(b\) so bestimmen, dass die Funktion stetig wird. Soweit ich weiß, müssen dafür die Funktionswerte der 1. und 2. Teilfunktion an der Stelle \(-\pi\) übereinstimmen. Aber wie ist das mit der 2. und 3. Funktion?

Ich komme hier auf keinen grünen Zweig, über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hi,

Du hast eigentlich schon alles gesagt ;). Nur noch umsetzen.

 

Ich nenne mal das von oben nach unten als g, h, k.

Für g(-π) = 1/2

Damit haben wir schon eine Bedingung für h(x).

Für k(x) müssen wir erst den Grenzwert bestimmen, da k(0) selbst nicht definiert ist.

 

lim_x->0 tan(3x)/sin(2x) = l'H = lim 3/(2cos(2x)cos(3x)^2) = 3/2

(Mit l'Hospital)

Somit ist k(0) = 3/2

 

Wir haben zwei Bedingungen für h(x):

h(-π) = a(-π-b)cos(-π) = aπ + bπ = 1/2

h(0) = a*(-b)cos(0) = -ab = 3/2

 

Das noch auflösen ;).

 

Grüße

Comments

Vielen Dank, dass ich da den Grenzwert benutzen musste, ist mir nicht eingefallen. Allerdings komme ich bei \(g(-\pi)\) auf \(\frac{1}{2}\). Bist du sicher, dass 0 stimmt?

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Nein völlig richtig. Iwie habe ich iwann bei mir aufm Blatt aus 1/2 eine 0 gemacht?!^^


Die Idee bleibt aber dieselbe ;).

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sin(-π/2) = -1 ;)

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Sowas in der Art muss ich iwann auch mal gemacht haben?! :D

Aber sin(-π/2) = -1 ;)

Answer 2

Berechne erst mal die geforderten Randwerte, indem du die Randstelle x=0 und x=-π in den ersten und 3. Teil deiner Funktionsgleichung einsetzt.

Einfach einsetzen / Grenzwert berechnen genügt.

Danach kannst du diese beiden Resultate beim mittleren Teil verlangen. Das sind dann 2 Gleichungen für die Unbekannten a und b.

Unknown ist ja schon fertig ;)

Answer 3

Tipp: Für die 3. Teilfunktion muss du den Quotienten durch die Funktionen des dreifachen bzw. doppelten Winkels umformen

sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)

tan(3x) = sin(3x)/cos(3x)

sin(3x) = 2*sinx - 4*sin³x

cos(3x) = 4*cos³x - 3*cosx

Mit diesen Beziehungen müsstest du auf ein Ergebnis kommen (an der Schnittstelle 0).