Ungleichung mit Betrag (x-2)/|x| < x

Question

Was habe ich bei folgender Ungleichung falsch gemacht?

Ungleichung: \( \frac{x-2}{|x|}<x \)

Für den Fall, dass x>0 ist, hab ich ein ungültiges Ergebnis, weil ich nicht die Wurzel von -7/4 nehmen kann,

Aber das kann ja nicht sein, weil wenn ich zum Beispiel für x 1 einsetze, dann kommt -1<1 raus und die Aussage ist ja wahr.

Meine Lösung:

1. Fall x>0
\( \frac{x-2}{x}<x \quad \mid x \)
\( x-2<x^{2} \quad \mid -x^{2} \mid+2 \)
\( -x^{2}+x<2 \quad \mid \cdot(-1) \)
\( x^{2}-x>-2 \quad \mid +\frac{1}{2})^{2} \)
\( x^{2}-x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}>-2+\frac{1}{4} \)
\( \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}>-\frac{7}{4} \)

Answer 1

die Aussage

( x - 1/2)^2 > - 7/4 

ist stets wahr. Ein Term quadriert ist stets positiv und somit größer null
oder -7/4.

Also gilt für den Fall x > 0  die Lösungsmenge   x > 0.
 

mfg Georg

Comments

Danke, aber wie kann ich jetzt weiter nach x auflösen. X kann ja auch kleiner 0 sein und trotzdem ist die Lösung dann größer -7/4..

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Das brauchst du nicht.
Die Aussage ( x - 1/2)² > - 7/4 gilt für alle x.
x= -4, -5 , 66 usw. Stimmt alles.

x ist Element von ℝ oder x ∈ ] -∞ ; +∞ [
Da deine Eingangsvoraussetzung aber war x > 0
heißt es ( x > 0 ) und (  x ∈ ] -∞ ; +∞ [ ) ist die

Schnittmenge : x > 0

Du mußt jetzt noch den Fall x < 0 untersuchen.

mfg Georg

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vielen Dank. Hier nochmal die Aufgabe ganz. Könntest du überprüfen, ob meine Lösung richitg ist?

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1.Fall x > 0
  Lösungsmenge x > 0
  Richtige Notation
  I1 = ] 0 ; ∞ [
  Gelesen : ausschließlich 0 bis ausschließlich ∞
  ( weil unendlich nicht eingeschlossen werden kann )
  man kann auch schreiben
  l1 = ℝ⁺
  ( Menge der positiven reellen Zahlen )

2.Fall
  hier gibt es ein paar tückische Punkte. Ich habe auch
etwas Zeit gebraucht um diese zu erkennen.

* ( -x )
x ist kleiner null, also negativ. ( -x ) ist ein positiver Wert.
Durch die Multiplikation wird das Relationszeichen <
nicht umgekehrt.

Die 2.Schwierigkeit könnte sein :
  Beispiel

x^2 < 16
  Auflösung
  -4 < x < 4

  Denn nur in diesem Bereich ist   x^2 < 16

Es ist alles ein wenig tückisch. Du hast du Sache aber trotzdem
schon ganz gut gemacht.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

 

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Und nochmal vielen Dank. Jetzt komme ich auch auf das richtige Ergebnis :) Hab in dem Moment  nicht daran gedacht, dass x ja schon negativ ist und ich dadurch durch etwas Positives teile.

Gruß