lim (1/2^n)*(n über k) mit Sandwich-Theorem berechnen.

Question

Möchte folgendes mit dem Sandwich Theorem berechnen:

lim (1/2^n)*(n über k)

n→∞

Nun gut, der Ausdruck n über k entspricht ja dem Binomialkoeffizienten. Aber wie kann ich denn damit eine Abschätzung machen? Oder muss ich hier zwei Abschätzungen machen? Der Binomialkoeffizient verunsichert mich doch sehr.

Answer 1

Willst du das wirklich genau ausrechnen für ein gegebenes k, d.h. in Anhängigkeit von k?

Ich kann dir erst mal eine Abschätzung machen. Diese zeigt, dass der Grenzwert existieren sollte.

Annahme: n und k natürliche Zahlen und k≤n.

Die Summe von allen (n tief k) entspricht ja der Summe über  eine Zeile im Pascaldreieck. Das Resultat ist 2^n.

Die Glieder in der Mitte sind die grössten / das grösste. Dieses sollte aber aus Symmetriegründen nicht grösser als 2^n / 2 sein. 

Daher (2^n/2) / 2^n > (n tief k)/2^n   |kürzen

 1/2 > (n tief k)/2^n

Hoffe, du kommst damit selbst weiter.

Comments

Ja, damit habe ich es geschafft. Ich glaube, nachdem ich mir noch ein paar andere Aufgaben im Internet und auch in Büchern angesehen habe, komme ich so allmählich auch bei diesem Theorem dahinter, was ich machen muss. Das schwierigste ist halt am Anfang eine sinnvolle Abschätzung zu finden. Danke für deine Hilfe!

Answer 2

Hi Sommersonne!

Ich weiss nicht wo genau dein Problem liegt. 

Sei \(~~~~~f(x) = \frac{1}{2^n} \cdot \binom{n}{k}~~~~ \) , dann must du zwei weitere Funktionen \(~~~~g(x), h(x)~~~\) finden, für die gilt: \(~~~~g(x) < f(x) < h(x)~~~\) und \(~~~ \lim_{n \to a} g(x) = \lim_{n \to a} h(x) = L~~~ \). Dann ist \(~~~ \lim_{n \to a} f(x) =: L~~~\).   

Wo genau ist da dein Problem?

Gruss

Comments

Danke auch für deine Mühe! Allerdings wollte ich hier ich hier keine allgemein Erklärung, sondern eine auf das konkrete Problem bezogene Erklärung.