Verständnis limes auf Multiplikation

Question

Hallo

wenn ich folgende Aufgabe habe:

lim x -> ∞    ^x√(x)    * ln(x) = lim x -> ∞ x^(1/x) * ln(x)

Dann hat man hier ja erstmal den Fall ∞⁰

Dann könnte man das ja so schreiben

lim x -> ∞   e ^{(1/x) *ln(x)}  * ln(x)

Der Exponent von e geht gegen [∞ * 0]

Dürfte ich jetzt den Exponenten einzeln betrachten und ggf. L'Hospital anwenden und dann den Grenzwert in den Exponenten einsetzen? Und dann nochmal auf den gesamten Term den Grenzwert bilden

also lim x -> ∞ (1/x) *ln(x)   .....

Dann würde der Exponent gegen 0 laufen und e⁰  = 1 und 1 * [∞] wäre ∞

Also wäre der Grenzwer von der Aufgabe gegen ∞ ?

Comments

Du darfst keinen L'Hospital anwenden.

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Ich kann doch den Exponenten auf [∞/∞] bringen

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Ich sehe grade nicht wie, aber selbst wenn hast du nur den Exponenten.

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Angenommen ich habe mit L'Hospital rausgefunden, dass der gesamte Term im Exponenten der e-Funktion gegen 0 läuft.

Kann ich dann damit die Aufgabe lösen?

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Nur wenn ∞/∞ oder 0/0.

Answer 1

Hallo

betrachte die beiden Faktoren zuerst einmal separat. Der erste Faktor  \(x^\frac{1}{x}\)  ist größer als 1 (falls x>1) , und was macht der zweite Faktor ln(x) , wenn x gegen unendlich strebt ?

Comments

Strebt gegen unendlich.

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Der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

Also hat mal 1 * ∞ und das ist als Grenzwert dann ∞

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Der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.
das ist sicherlich allzu verkürzt

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Also darf ich die Aufgabe so umformen und lösen?

lim x -> ∞   e ^{(1/x) *ln(x)}  * ln(x)

Answer 2

Ja. Du hast das doch sehr gut gemacht.

x^{1/x} = EXP(LN(x^{1/x})) = EXP(1/x·LN(x))

Für den Grenzwert untersucht man den Grenzwert des Exponenten

LIM (x→∞) LN(x)/x = 0

LIM (x→∞) x^{1/x} = 1

Jetzt kann man den Grenzwert berechnen

LIM (x→∞) x^{1/x} * LN(x) = 1 * ∞ = ∞

Comments

danke

ich war mir nur unsicher, ob ich den Exponenten "in einer Nebenrechnung" mit L'Hospital betrachten darf oder nicht.

Genauso wie du es beschrieben hast, habe ich es auch als Lösung gemacht.

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Doch darf darf man in einer Nebenrechnung so machen. So macht man Es ja auch z.B. für den Grenzwert bei

(1 + 1/x)^x

Das schreibt man sich auch zunächst in einen e-Term und betrachtet zunächst nur den Exponenten.

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Ja genau so kenne ich das auch, aber nicht als Multiplikation sondern als alleiniger Term, wie du ihn hier genannt hast. Hier hat man ja zwei Faktoren und da wusste ich nicht, ob es auch hier gilt.