Bestimme den Funktionsterm. Lineare Funktionen - Warum Bruch als Steigung?

Question

Aufgabe:

Bestimme den Funktionsterm:

Ansatz/Problem:

Die Lösungen für die 3 Graphen sind:

f(x) = -(24/5)*x - 4

f(x) = -(3/4)*x - (45/4)

f(x) = - (1/4)*x+7

Wie komme ich auf diese Ergebnisse? Ich verstehe ja wo d liegt, aber was hat es mit den Brüchen auf sich?

Steigung k.

Comments

Schau bitte auch noch hier rein

https://www.matheretter.de/wiki/lineare-funktionen

Einführendes Video dazu hier: https://www.youtube.com/watch?v=mujliRcVSF8

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Hier ist k die Steigung (als Bruch darzustellen) und d der Abschnitt auf der y-Achse. Gängiger sind die Variablen m (statt k) und n (statt d).

Um auf den Koeffizienten (den Faktor vor x im Funktionsterm) zu kommen, denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypotenuse liegt immer auf dem Graphen. Der Bruch entsteht durch die Änderung in x und y-Richtung, wobei die y-Änderung im Zähler und die x-Änderung im Nenner steht.

Bei a) denkst du dir das Dreieck mit den Punkten (0;-4), (2,5;8), (2,5/-4). Das x im Dreieck reicht von 0 bis plus 2,5. Das y im Dreieck reicht von minus 4 bis 8. Wir erhalten im Zähler die Differenz 12 (=8-(-4)) und im Nenner 2,5 (=2,5-0). Wir möchten aber ganze Zahlen im Bruch, also erweitern wir 12/2,5 mit 2 und erhalten 24/5.

Der Bruch ist positiv, wenn die Funktionswerte mit wachsendem x steigen (a), der Bruch ist negativ, wenn die Funktionswerte mit wachsendem x fallen (b und c).

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Aber man sieht ja das k 1,2 ist und nicht 4,8! Das ergibt für mich irgendwie keinen Sinn :/

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Die Nullstellen x eins und x zwei sind 1 und 2. Die Steigung als Bruch angegeben ist k, bei der Aufgabe a ist die Steigung k gleich 24/5, denn die y-Werte von minus 4 bis plus acht ergeben 12 und weil die Differenz der x-Werte 2,5 ist, würde die Steigung k 12/2,5 lauten, besser ist 24/5.
Okay?

Answer 1

Die Brüche stehen für die Steigung m.

Es gilt nach Definition

Steigung = (y-Unterschied)/(x-Unterscheid)

Diese beiden Grössen bestimmt man mit den eingezeichneten Steigungsdreiecken.

Bei a) ist das nun

m = (8- (-4)) / ( 2.5 - 0) = 12/2.5 = 24/5

Bei b)

m = (0-15)/(-15-(-35)) = -15/20 = -3/4

Bei c)

m= (2-12)/((20 - (-20)) = -10/40 = -1/4

Anmerkung: Ich nehme immer die Koordinaten des rechten Punktes MINUS die Koordinaten des linken Punktes. Man kann es auch umgekehrt machen. Wichtig ist, dass man über und unter dem Bruchstrich die gleiche Reihenfolge nimmt, sonst gibt's Vorzeichenfehler.