Punktsymmetrisch, achsensymmetrisch oder?

Question

Wie formuliere ich den Beweis genau , dass es achsensymmetrisch , punktsymmetrisch oder keins von beiden ist

Ich weiß wie es aussieht . ich muss nur den Beiweis Mathematisch richtig schreiben . Muss ich noch was hinzu fügen ?

a) f(x)= x^6 -3 x²  

f(x) = f(-x)

b) f(x) = -x^4-1/2 x²  auch achsensymmetrishc nur nach unten geöfnet

f(x) = f(-x) hat aber nur eine Nullstelle

c) -1/4x^3+x²   es ist punktsymmetrisch nur nicht genau auf der y-achse

Nullstelle  0 und 4

es ist aber nicht genau in der y-achse getrennt

f(x) = -f(-x)


d)
f(x)= x^4 -2

Nullstelle - 2,25 und 2,25

f(x) = f(-x)

e)
f(x) = x^3-1

wäre punktsymmetrisch aber es ist nicht in der 0 Stelle getrennt sondern bei -1 wie schreibt man das

f) f(x) =wurzel2 x^10
achsensymmetrisch ? aber es gibt nur eine Nullstelle

g)f(x) = x^7 -x^6

Nullstelle 0 und 1

h)
f(x) = 7x^7-3x^3+5

Wäre Punktsymmetrie zum Ursprung aber durch +5 teilt es sich bei 5

Comments

Ich wollte es korriegieren.

Also ich weiß wenn alle Exponenten gerade sind ist es achsensymmetrisch, wenn alle ungerade sind Punktsymmetrisch aber wie definiere ich es mathematisch wenn sie keins von beiden sind mit diesn ins unendliche

Answer 1

a) f(x)= x⁶ -3 x²   

f(-x) = (-x)^6 -3(-x)^2 = x^6 - 3x^2 = f(x) qed. Symmetrisch zur y-Achse.

f(x) = f(-x)

b) f(x) = -x⁴-1/2 x²  auch achsensymmetrishc nur nach unten geöfnet 

f(-x) = -(-x)^4 - 1/2 (-x)^2 = -x^4 - 1/2x^2 = f(x) qed. Symmetrisch zur y-Achse

f(x) = f(-x) hat aber nur eine Nullstelle 

c) -1/4x³+x²   es ist punktsymmetrisch nur nicht genau auf der y-achse

Nullstelle  0 und 4 

es ist aber nicht genau in der x-achse getrennt 

f(x) ≠ -f(-x) 

f(-x) = -1/4 (-x)^3 + (-x)^2 = -1/4 (-x^3) + x^2 = 1/4 x^3 + x^2. Resultat entspricht weder f(x) noch -f(x) daher keine der üblichen Symmetrieen. Du weisst aber offenbar, dass alle Polynome 3. Grades Punktsymmetrisch sind. Wenn man das zeigen will, berechnet man am besten erst mal die Koordinaten des Wendepunktes. Das ist in der Schule in der Regel aber gar nicht verlangt bei einer Kurvendiskussion.
d) 
f(x)= x⁴ -2 

Nullstelle - 2,25 und 2,25 (Wäre bei der Symmetrieberechnung nicht nötig, ist aber ein gutes Indiz) 
 f(-x) = (-x)^4 - 2 = x^4 - 2 = f(x) qed. Achsensymmetrisch bez. y-Achse.

f(x) = f(-x) 

e) 
f(x) = x³-1 

wäre punktsymmetrisch aber es ist nicht in der 0 Stelle getrennt sondern bei -1 wie schreibt man das ? f(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1.
-f(x) = -x^3 + 1 f(x) + 1 = -f(-x) -1 Punktsymmetrisch bezüglich P(0|1). Auch diese Symmetrie musst du in der Schule in der Regel nicht angeben bei jeder Kurvendiskussion.
f) f(x) =wurzel2 x¹⁰ Du meinst zweite Wurzel? 
 f(x) = √(x^10) = |x^5|
achsensymmetrisch ? Richtig! 
 f(-x) = √((-x)^10) = √(x^10) = f(x) qed. Symmetrisch bezügl. y-Achse.
  aber es gibt nur eine Nullstelle. y=x^2 hat auch nur eine Nullstelle. 

g)f(x) = x⁷ -x⁶ 

Nullstelle 0 und 1 
Keine der untersuchten Symmetrien möglich Allgemein: 
 f(-x) = (-x)^7 - (-x)^6 = -x^7 - x^6 ≠ f(x) Ebenfalls ≠-f(x). Daher keine der untersuchten Symmetrien.
h) 
f(x) = 7x⁷-3x³+5 

Wäre Punktsymmetrie zum Ursprung aber durch +5 teilt es sich bei 5 .

Schreibe, wenn du unbedingt willst: Symmetrisch bezüglich P(0|5).

Also keine der untersuchten Symmetrien.

f(-x) = 7(-x)^7 - 3(-x)^3 + 5 = -7x^7 + 3x^3 + 5 ≠ f(x) und ebenso nicht gleich -f(x).

Beachte zu Symmetrie die Rubrik 'Wissen' hier: https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Da hat's auch ein Gratisvideo dabei.

Comments

f) f(x) = sqrt(2) * x^10 ist symmetrisch zur y-Achse.

Die einzige Nullstelle liegt auf der y-Achse.
Sie ist eine zehnfache Nullstelle.

Eigentlich geht es bei diesen Aufgaben doch eher nicht darum, die Symmetrien durch nachrechnen zu begründen, sondern durch eine Betrachtung der Exponenten. Es stellt sich also die Frage, wie man das kurz und prägnant formuliert.

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 f(-x) = √((-x)¹⁰) = √(x¹⁰) = f(x) qed. Symmetrisch bezügl. y-Achse.

genügt vollauf.

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Ich vermute, die Wurzel aus 2 ist der Koeffizient, andernfalls würde diese Aufgabe vor dem Hintergrund der anderen Aufgaben etwas aus dem Rahmen fallen...

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Ich denke Lus Deutung von
" f(x) =wurzel2 x¹⁰ Du meinst zweite Wurzel? 
 f(x) = √(x¹⁰)  "
dürfte zutreffen.

Die andere Deutungsmöglichkeit
√ 2  * x^10
ist die eher unwahrscheinlichere.

Ich meine schon das Lu die Symmetrien
" nicht durch nachrechnen begründet hat, , sondern allgemein "

" Es stellt sich also die Frage, wie man das kurz und prägnant formuliert."
Dann stell deine Antworten einmal hier ein.

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Hier ein Vorschlag aus einem Schulbuch für mögliche Formulierungen:

Der Graph der ganzrationalen Funktion f verläuft symmetrisch zur y-Achse, da ihr Funktionsterm f(x) nur gerade Exponenten von x enthält.

Der Graph der ganzrationalen Funktion f verläuft symmetrisch zum Ursprung, da ihr Funktionsterm f(x) nur ungerade Exponenten von x enthält.

Der Graph der ganzrationalen Funktion f verläuft weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung, da ihr Funktionsterm f(x) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten von x enthält.

Als Begründung ist dies völlig ausreichend und damit ist dies eine mögliche Antwort auf die Frage: Wie formuliere ich den Beweis genau, dass es achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keins von beiden ist?