Grenzwert einer Folge berechnen

Question

Wie berechne ich lim(n->unendlich, (3n^2+5)/(7n^2+4n+16))? Würde mich sehr über einen nachvollziehbaren Rechenweg freuen!

Answer 1

Du teilst jeden Summand in Zähler und Nenner durch das n mit dem höchsten Exponenten:

\begin{matrix} lim \\ n\rightarrow \infty  \end{matrix}\frac { 3{ n }^{ 2 }+5 }{ 7{ n }^{ 2 }+4n+16 } =\begin{matrix} lim \\ n\rightarrow \infty  \end{matrix}\frac { 3+\frac { 5 }{ { n }^{ 2 } }  }{ 7+\frac { 4 }{ n } +\frac { 16 }{ { n }^{ 2 } }  } =\frac { 3 }{ 7 } \\ Da\quad \frac { 5 }{ { n }^{ 2 } } \rightarrow 0,\quad \frac { 4 }{ n } \rightarrow 0\quad und\quad \frac { 16 }{ { n }^{ 2 } } \rightarrow 0,\quad ist\quad der\quad Grenzwert\quad \frac { 3 }{ 7 } .

Comments

Danke euch beiden für die Erklärungen, das ist ja viel einfacher als ich dachte :) Nochmals vielen Dank!

Answer 2

Klammer mal im Zähler und Nenner n^2 aus

(3n² + 5)/(7n² + 4n + 16) = n^2*(3 + 5/n^2)/(n^2(7 + 4/n + 16/n^2))

Jetzt kürzen wir durch n^2

n^2*(3 + 5/n^2)/(n^2(7+4/n+16/n^2)) = (3 + 5/n^2)/(7 + 4/n + 16/n^2)

Jetzt können wir für n gedanklich unendlich einsetzten. Dann gehen die Brüche, die durch n geteilt werden alle gegen 0. Damit geht der ganze Ausdruck dann gegen 3/7.

Kannst du das so nachvollziehen?