Partielle Integration von e^{ax}*sin(x)

Question

Komme bei folgendem Integral nicht weiter. Es soll wieder mittels partieller Integration gelöst werden:

∫exp(ax)*sin(x)dx

Habe f(x) für sin(x) genommen und g'(x) für exp(ax). Das gibt bei mir folgendes:

=(1/a)*exp(ax)*sin(x)-∫ (1/a)*exp(x)*cos(x)

Jetzt bin ich mir leider unsicher, wie es weiter geht. Kann ich jetzt etwas vor das Integral ziehen? Und wenn ja, was? Oder muss ich das nochmals mit partieller Integration machen? Aber bei einer trigonometrischen Funktion wie hier cos (x) stehe ich doch nach jedem integrieren vor dem selben Problem, oder?

Answer 1

∫ e^{a·x} * sin(x) dx = e^{a·x}/a * sin(x) - ∫ e^{a·x}/a * cos(x) dx

∫ e^{a·x}/a * cos(x) dx = e^{a·x}/a^2 * cos(x) - ∫ e^{a·x}/a^2 * (- sin(x)) dx
∫ e^{a·x}/a * cos(x) dx = e^{a·x}/a^2 * cos(x) + ∫ e^{a·x}/a^2 * sin(x) dx

∫ e^{a·x} * sin(x) dx = e^{a·x}/a * sin(x) - e^{a·x}/a^2 * cos(x) - ∫ e^{a·x}/a^2 * sin(x) dx
∫ e^{a·x} * sin(x) dx + 1/a^2 ∫ e^{a·x} * sin(x) dx = e^{a·x}/a * sin(x) - e^{a·x}/a^2 * cos(x)
(a^2/a^2 + 1/a^2) ∫ e^{a·x} * sin(x) dx = e^{a·x}/a * sin(x) - e^{a·x}/a^2 * cos(x)
(1 - a^2)/a^2 ∫ e^{a·x} * sin(x) dx = e^{a·x}/a * sin(x) - e^{a·x}/a^2 * cos(x)
∫ e^{a·x} * sin(x) dx = (e^{a·x}*a * sin(x) - e^{a·x} * cos(x))/(1 - a^2)

Comments

Danke für deine Antwort! Habe ein wenig gebraucht, um es nachvollziehen zu können, aber jetzt geht es. Bin mir irgendwie unsicher, wann ich bei trigonometrischen Funktionen mit dem Integrieren aufhören muss. Ich meine immer, ich müsste noch einmal integrieren, obwohl das nicht mehr nötig ist.