Verknüpfungen (a,b)'+'(c,d): =(a+c,b+d) und (a,b)'*'(c,d):=(ac-bd,ad+ cb) gegeben, Körper (R^2,'+','*') beweisen

Question

Aufgabe:

Auf \( \mathbb{R}^{2}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}:=\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}\} \) seien zwei Verknüpfungen \( \oplus \) und o definiert durch

\( (a, b) \oplus(c, d):=(a+c, b+d) \quad \text { bzw. } \quad(a, b) \circ(c, d):=(a c-b d, a d+c b) \)

Zeigen Sie, dass \( \left(\mathbb{R}^{2}, \oplus, \circ\right) \) ein Körper ist.

Answer 1

Ja,

prüfe die einzelnen Körperaxiome an den Verknüpfungen und verwende dabei das, was du schon

über Addition und Multiplikation der reellen Zahlen gelernt hast.

Comments

Könntest du mir es anhand eines Axioms zeigen wie man es macht ?

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Klar :)

(0,0) ist das Nullelement bezüglich ⊕:

∀(a,b) ∈ ℝ² : (a,b) ⊕ (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b)

Eindeutigkeit aufgrund der Eindeutigkeit des Nullelements der Addition.

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Muss jetzt dieses Nullelement auch bezüglich der Multiplikation stimmen bzw. müssen alle Axiome bezüglich der Addition UND Multiplikation übereinstimmen oder nur jeweils für das eine.

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In einem Körper muss gelten, dass (K,+) eine kommutative Gruppe ist und das (K\{0} , *) eine kommutative Gruppe ist, wobei 0 das Nullelement der additiven Verknüpfung beschreibt (insbesondere sind das Nullelement bezüglich Addition und Multiplikation immer verschieden). Außerdem muss das Distributivgesetz gelten.

Gruß

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Die Eigenschaften in den Körperaxiomen sind an bekannte Zahlenköper (z.B. R) angelehnt. Überleg dir von dort her, was wofür gilt. https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl