(x^2-1)/2x umkehrbar?

Question

Wir sollen von folgender Funktion eine Umkehrfunktion und Kehrform bestimmen:

k: ]0,∞[ --> ℝ mit f_(x) = (x² - 1)/2x

So nun sieht man auf dem ersten Blick, die Funktion ist für 0 nicht definiert, was mich zur Aussage verleitet, dass keine Umkehrfunktion zu bilden ist. Ist es auf herkömmlichen Wege auch nicht, ich habe es einfach mal probiert. Ich habe aber ein Problem mit dem Definitionsbereich. Der umfasst alle positiven reellen Zahlen > 0 und hat auch entsprechend einen negativen Gegenwert. Weiterhin ist die Funktion für den definierten Bereich streng monoton steigend, wenn ich es richtig sehe. Daher müsste ja dann doch eigentlich eine Umkehrfunktion existieren, aber wie errechne ich die? Muss ich irgendwo was umstellen, gibt es irgendeinen Kniff, eine Rechenregel auf die ich einfach nicht komme, mit der mal wieder alles ganz leicht ist?  Den Graphen aufgezeichnet habe ich natürlich auch, aber großartig inspirieren konnte der mich auch nicht. Ich erhalte nach ein wenig umstellen immer nur 2y = x - 1/x

So, dass sind meine Ideen für die Aufgabe, helft mir bitte auf die Sprünge, oder bestätigt meine Annahme, dass es keine Umkehrfunktion gibt :-)

Comments

Schau mal, was WolframAlpha mit deiner Funktion macht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+y%3D+%28x%5E2+-+1%29%2F2x

Vielleicht sollte 2x in Klammern gesetzt werden?

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Umkehrbar? In Bereichen, in denen die Funktion injektiv ist, kannst du Umkehrfunktionen bilden.

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Zitat: "So nun sieht man auf dem ersten Blick, die Funktion ist für 0 nicht definiert, was mich zur Aussage verleitet, dass keine Umkehrfunktion zu bilden ist."

Das würde auch auf die Funktion y=1/x zutreffen. Dass eine Funktion irgendwo nicht definiert ist, verhindert noch nicht ihre Umkehrbarkeit.

Answer 1

k: ] 0,∞ [ --> ℝ mit f_(x) = ( x² - 1 ) / ( 2x )
Vorabfrage ist k bereits der Def-Bereich
Das würde bedeuten ohne Null bis unendlich.
D = ] 0 ; ∞ [
W = ] -∞ ; ∞ [

Umkehrfunktion bilden
y = ( x² - 1 ) / ( 2x )
x = ( y^2 - 1) / ( 2 * y )
2xy = y^2 - 1
y^2 - 2xy = 1
y^2 - 2xy + x^2 = 1 + x^2
( y - x )^2 = 1 + x^2
y - x = ±√ ( 1 + x^2 )
y = ±√ ( 1 + x^2 ) + x
Es gibt 2 Umkehrfunktionen
y = + √ ( 1 + x^2 ) + x
y = - √ ( 1 + x^2 ) + x

Der Def-Bereich der Funktion ist der Wertebereich
der Umkehrfunktion
Der Werte-Bereich der Funktion ist der Def-Bereich
der Umkehrfunktion
D = ] -∞ ; ∞ [
W = ] 0 ; ∞ [
Die 2.Lösung entfällt da der Funktionswert negativ ist.
Also bleibt :
f^-1 ( x ) = √ ( 1 + x^2 ) + x

Comments

Danke, mir ist einfach nicht eingefallen mit x² zu erweitern, meine Güte, war wohl noch zu früh am morgen. Danke jedenfalls noch mal. Ich sollte es definitiv stärker üben, solche Dinge zu sehen, ist ja auch die halbe MIete bei Mathe für Ingeneure.

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Das war für mich auch zunächst ungewohnt.
( Erweiterung mit x^2 / binomische Formel )

So ganz ohne war die ganze Aufgabe ja eh nicht.

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Ich würde das auch nicht "Erweitern" nennen, obwohl das eigentlich nicht falsch ist, sondern so, wie es üblicherweise genannt wird, nämlich "quadratisches Ergänzen".

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Ja, hast recht, quadratisch ergänzen ist korrekt. Naja, da waren noch andere Aufgaben, bei denen man Binome erkennen musste, bzw. wo es sehr von Vorteil war wenn man es erkannt hat, da hats geklappt, bei der halt nicht, aber dafür gibt es ja so tolle Foren wie hier. Ehrlich sehr hilfreich :-)

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Der Standardausdruck ist :  quadratische Ergänzung
Der Fragesteller hat den Begriff " Erweiterung " gebraucht.
Diesen habe ich auch verwendet damit eindeutig ist worüber
gesprochen wird.
Hätte sich der Ausdruck " quadratische Erweiterung " eingebürgert
wäre es auch nicht verkehrt gewesen.

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Freunde, lasst uns nicht über Terminologie streiten, es geht primär darum was wir tun, nicht wie wir es nennen. Außerdem sind erweitern und ergänzen synonym verwendbare Begriffe. Von daher: Wayne, das Problem wurde gelöst, darum ging es. :-)

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Wir können trotzdem Freunde bleiben auch wenn wir hier
die richtige Terminolgie besprechen. Dies kann / sollte in aller
Sachlichkeit geschehen.
mfg Georg

Answer 2

Ist die Funktion streng monoton, hat sie auch eine Umkehrfunktion.

Zitat: Ich erhalte nach ein wenig umstellen immer nur 2y = x - 1/x

Dann multipliziere dieses Ergebnis mit x und löse die entstehende quadratische Gleichung. Weiter musst Du Dir noch Gedanken über den Definitionsbereich machen.