Fibonacci-Zahlen, Goldener Schnitt

Question

1. Es sei (an)n ∈ N0 die Folge der Fibonacci-Zahlen . Ferner seien

σ≤τ die Losungen der Gleichung x2 - x - 1 = 0 und

xn :=an /an_-1, n∈ N.

Bestimmen Sie den sog. Goldenen Schnitt τ, und zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) a_n=1/√5(τⁿ⁺¹-σⁿ⁺¹), n ∈ No

(b)lim_n→∞x_n=τ

Answer 1

Beweis von a) durch Induktion.
Offensichtlich gilt die Aussage für \(n=0\) sowie \(n=1\).
Zeige die Aussage für \(n+1\) unter der Voraussetzung, dass die für \(n\) gilt:$$\begin{aligned}a_{n+1}&=a_n+a_{n-1}\\&=\frac1{\sqrt5}\left(\tau^{n+1}-\sigma^{n+1}+\tau^n-\sigma^n\right)\\&=\frac1{\sqrt5}\Bigg(\tau^{n+1}\left(1+\frac1{\tau}\right)-\sigma^{n+1}\left(1+\frac1{\sigma}\right)\Bigg)\\&=\frac1{\sqrt5}(\tau^{n+1}\cdot\tau-\sigma^{n+1}\cdot\sigma)\\&=\frac1{\sqrt5}(\tau^{n+2}-\sigma^{n+2}).\end{aligned}$$