Sei K^n die Menge aller n-tupel der Elemente aus K und gelte für die Addition
(x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(x1+y1,...,xn+yn) Zeige das K^n bzgl. der Addition eine
abelsche Gruppe ist.
Zeige das K^n assoziativ ist:
((x1,...,xn)+(y1,...,yn))+(z1,...,zn)=(x1+y1,...,xn+yn)+(z1,...,zn)=(x1+y1+z1,...,xn+yn+zn)
(x1,...,xn)+((y1,...,yn)+(z1,...,zn))=(x1,...,xn)+(y1+z1,...,yn+zn)=(x1+y1+z1,...,xn+yn+zn)
Da das Ergebnis identisch ist => Assoziativität
Abgesehen vom Formalen, ist der Beweis korrekt?
Der Körper K und demnach auch sämtliche Summen die aus ihm gebildet werden können sind in K enthalten
Bei (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(x1+y1,...,xn+yn) müssen also auch diese Summen in K^n enthalten sein da
die einzelnen Elemente des Tupels in aufrgrund der Abgeschlossenheit von K selber auch dort enthalten sind
=> Abgeschlossenheit
Gelte x1=-y1 ... xn=-yn (-yn zu xn muss aufgrund der Existenz eines inversen Elementes für die Elemente aus
K) so gilt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(x1+y1,...,xn+yn)=(0,...,0) Inverse sind also vorhanden, falls (0,...,0)
auch tatsächlich das neutrale Element ist aus K^n. Bleibt zu prüfen ob es sich hier auch um das neutrale
Element handelt: (z1,...,zn)+(0,...,0)=(z1+0,...,zn+0)=(z1,...,zn) => (0,...,0) ist also tatsächlich das neutrale
Element.
Damit ist K^n eine abelsche Gruppe
