Grenzwerte bestimmen (Analysis) a_n=(n-1)/(2n^2 + 1) usw.

Question

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der vorgelegten Folgen:

\( a_{n}=\frac{n-1}{2 n^{2}+1}, \quad b_{n}=\frac{4^{n+1}+2^{n+1}}{4^{n+2}+1}, \quad c_{n}=\frac{n^{4}+2 n^{2}+n+1}{3 n^{4}+2 n^{2}} \)

Aufgabe 2:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenentals:

i.) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+4}{x^{2}-1} \),

ii.) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}-1} \)

iii.) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \).

Comments

Tipp zu iii:

$$\left(\sqrt{x+1}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right)=x\text{, falls }x\ge-1.$$

---

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}x=\frac1{\sqrt{x+1}+1}.$$

---

Die rekursive ist noch ein zweites Mal vorhanden. Hier: https://www.mathelounge.de/164849/rekursive-folge-berechnen

Ich nehme die Frage hier oben raus.

Answer 1

hier einmal die 3 Antworten zum mittleren Teil

bei ii.) und iii.) wurde l´Hospital verwendet.

Comments

L'Hospital ist hier nicht notwendig und vermutlich auch nicht gefragt. Bei ii.) kann man einfach mit \(x-1\) kürzen.

---

Ist aber auch nicht falsch.

---

danke erstmal. aber l´hospital kenne ich nicht und kann jetzt damit nichts anfangen. aber i und ii habe ich j auch raus, ich habe auch mit x-1 gekürzt. hilfe brauche ich vor allem in iii, und der tipp hilft mir nicht :(

---

[ √ ( x + 1 ) - 1  ] / [  ( √ ( x + 1 ) - 1 ) * ( √ ( x + 1 ) + 1 ) ]
kürzen
1   /  [   √ ( x + 1 )  + 1  ]
1 / 2

---

danke sehr :) könnet ihr mir auch bei den anderen aufgaben helfen?

---

4^{a} = (2^{2}) hoch 2 = 2^{2a}

wenn n gegen unendlich geht spielt die +1 im Nenner
keine Rolle mehr und kann entfallen.


In der 2.Aufgabe
wenn n gegen unendlich geht ist die höchste Potenz maßgebend.
Alles andere kann entfallen.

Beide Ergebnisse stimmen.

mfg Georg

Answer 2

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\left(\frac1n-\frac1{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac1{n^2}\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1n-\frac1{n^2}}{2+\frac1{n^2}}=\frac{0-0}{2-0}=0.$$