Komplexe Zahlen Versor Schreibweise

Question

ich habe eine Grundlegende Frage zur Versor Schreibweise. Ich möchte in der Veror Schreibweise multiplizieren.

Ich habe das Ergebnis, komme jedoch nicht mehr darauf:

Einmal:

z = Versor 6/7 * Pi

z^2 und z^3 sollen berechnet werden:

z^2 = Versor -2/7*Pi

z^3 = Versor 4/7*Pi

Wie komme ich auf z^2 und z^3 ?

Dann:

x^8 -(1+j) = 0

x1 = Versor Pi/32

Aber wie komme ich von der Gleichung auf den Versor ?

Es wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Answer 1

Ich rechne mal dein z gemäss Wikipedia um in Polarkoordinaten und mache damit weiter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Versor

z = Versor 6/7 * Pi = 6*e^{7πj}

z² und z³ sollen berechnet werden:

z² = 6^2*e^{14πj} =  Versor 36  /(14*π)

z³ = 6^3*e^{21jπ} = Versor 216 /(21*π)

Damit ergibt sich, dass deine 'Ergebnisse' nicht mit meinen übereinstimmen.

Beachte ausserdem, dass bei den komplexen Zahlen der Winkel modulo 2π gerechnet wird. Daher könnte man wie folgt vereinfachen:

z = Versor 6/7 * Pi = 6*e^{7πj} = 6*e^{πj} = 6*(-1) = -6 = Versor 6 / π

z² und z³ sollen berechnet werden:

z² = 6^2*e^{14πj} = 36*e^{0j} = 36*1 = 36=  Versor 36  / 0  

z³ = 6^3*e^{21jπ} = 6^3*e^{jπ} = 216*(-1)  = Versor 216 / π

Schau mal in deinen Unterlagen und in Wikipedia, ob das bis hierhin mit euren Gesetzen übereinstimmen kann. 

Comments

x⁸ -(1+j) = 0

x^8 = 1+j = Versor √2 / π/4

x₁ = Versor ⁸√(√2) / π/32 

Mathematisch gibt es 7 weitere Resultate:

x₂ = Versor ⁸√(√2) / (π/32 + π/8) 

x₃ = Versor ⁸√(√2) /( π/32 + π/4) 

.....

x₈ = Versor ⁸√(√2) / (π/32 + 7π/8)

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Danke, nur wie komme ich denn jetzt auf pi/4 und auf diese 32 ?

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jetzt auf pi/4

Zeichne 1+j in der komplexen Zahlenebene ein und lies den Winkel ab. Er beträgt 45°. Das ist in Bogenmass π/4.

Wenn du Zahlen miteinander multiplizierst, addieren sich die Winkel.

Da du z₁ acht mal mit sich selbst multipliziert hast, ist π/4 = 8*α   . Jetzt nach α auflösen.     |:8

α = π/(4*8) = π/32.

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Danke, ihr habt mir sehr weitergeholfen.

Answer 2

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Versor

Der Versor ist nichts anderes wie die e-Schreibweise mit Argument und Winkel nur das man es ohne e und in einer Zeile schreibt. Gerechnet wird damit aber ganz genau so als wenn du die e-Schreibweise nutzen würdest.

Answer 3

z = 1 Versor 6/7 * Pi

z^2 und z^3 sollen berechnet werden:

z^2 =  ( 1 Versor 6/7 * Pi )^2 = 1^2 Versor 12/7 * Pi = Versor (12-14)/7 * Pi = Versor -2/7*Pi

z^3 = ( 1 Versor 6/7 * Pi )^3 = 1^3 Versor 18/7 * Pi = Versor (18-14)/7 * Pi = Versor 4/7*Pi

(Der Betrag spielt hier keine Rolle, da er 1 ist. Ich habe ihn mit aufgeschrieben. Liegt das Argument außerhalb [0,...2PI], wurde hier offenbar um ±2Pi angepasst.

Comments

Danke, das war die Lösung zum ersten Teil meiner Fragen

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Ach so! Ihr schreibt den Betrag vor das Wort Versor und nicht vor den Trennstrich / (?)

Wenn so:  alle meine Resultate zu 2. umschreiben. Was vor dem / steht vor den Versor verschieben.

Also:

x⁸ -(1+j) = 0 

x⁸ = 1+j =  √2 Versor  π/4

x⁸ = 1+j = √2 Versor π/4

x₁ =  ⁸√(√2) Versor π/32 

Mathematisch gibt es 7 weitere Resultate:

x₂ = ⁸√(√2) Versor (π/32 + π/8)  

x₃ =  ⁸√(√2) Versor ( π/32 + π/4)  

.....

x₈ = ⁸√(√2) Versor (π/32 + 7π/8)