Eine Frage zur Potenzmenge ..

Question

Zeigen Sie: Für jede Menge X gibt es eine Injektion

 X →P(X), aber es gibt keine Bijektion X → P(X).

Answer 1

Injektion ist einfach.
Du ordnest einfach jedem Element m der Menge X diejenige Menge zu, die
als einziges Element das m enthält, also  m ---> {m}.
Verschiedenen m's werden dann also verschiedene Mengen zugeordnet und
die Injektion in die Potenzmenge ist fertig.

keine Bijektion ?

Comments

Habe jetzt auch was zur Bijektion, die wäre ja insbesondere surjektiv.

Sei also f eine surjektive Abb von X nach P(X).

Diese Annahme wird zu einemWiderspruch geführt:

Bilde die Menge M aller a aus X, die nicht in f(a) enthalten sind.

Wegen der Surjektivität hat M ein Urbild, nenne es b.

Ist nun b ein Element von M ?

Wäre es so, dann würde nach Def. von M gelten b nicht in f(b).

Aber f(b)=M, also b nicht in M.

Andererseits folgt aus b nicht in M, dass nach Def. von M 

b ein Element von M ist. etc.

Also gibt es keine surjektive Abb.

---

Ich bin Ihnen zutiefst dankbar, Sie haben mir echt sehr weit geholfen