Aufstellen eines Doppelintegrals für f(x,y)=x^6+(4y)^6

Question

ich muss für f(x,y)=x^6+(4y)^6 ein Doppelintegral aufstellen. Z soll 1 sein und der Bereich B = {(x,y) : f(x,y)=x^6+(4y)^6 ≤ 1}. Wie die geometrische Form aussieht hab ich schon rausgefunden, aber ich habe keine Ahnung, wie ich auf das Integral und seine Grenzen komme.

Danke

Comments

Z soll 1 sein

wo kommt Z sonst noch vor ?

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Geht es um das Integral \(\int\limits_B \! f(x,y) \, d(x,y) \) ?

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Laut Aufgabenstellung ist die geometrische Form eine Ölwanne und diese hat die Höhe z = 1. Es soll ein Doppelintegral zur Volumenermittlung erstellt werden.

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Die Grenzen für x und y sind also nicht explizit vorgegeben, sondern die Begrenzung wird durch z=f(x,y)<1 ausgedrückt. Dann müsste wohl zuerst ermittelt werden, welcher Zusammenhang zwischen x und y besteht, um diese Anforderung zu erfüllen.

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Und wie geht man da am besten vor?

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$$  f(x,y)=x^6+(4y)^6  $$
$$  f(x,y)=1 $$
$$  1=x^6+(4y)^6  $$
$$  (4y)^6 =1-x^6$$
$$  4^6 \cdot y^6 =1-x^6$$
$$  y =\frac{1-x^6}{4^6 }$$
$$  y =\pm \sqrt[6]{\frac{1-x^6}{4^6 }}$$
$$  y =\pm \frac{1}{4}\sqrt[6]{{1-x^6}}$$

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Das ist die Lösung! Manchmal sieht man irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht ;-)

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Die Lösung ist das nicht - aber der entscheidende Schritt in die richtige Richtung ...