Ist die Gruppe kommutativ? Bestimmen Sie die von f_{4} erzeugte Untergruppe.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge \( X=\left\{f_{1}, \ldots, f_{6}\right\} \) von Funktionen \( f_{i} \) : \( \mathbb{Q} \backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{Q} \backslash\{0,1\} \mathrm{mit} \)

$$ \begin{array}{l} x \mapsto f_{1}(x)=x, \quad x \mapsto f_{2}(x)=\frac{1}{x}, \quad x \mapsto f_{3}(x)=1-x \\ x \mapsto f_{4}(x)=\frac{1}{1-x}, \quad x \mapsto f_{5}(x)=\frac{x-1}{x}, \quad x \mapsto f_{6}(x)=\frac{x}{x-1} \end{array} $$

und mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Ist die Gruppe kommutativ? Bestimmen Sie die von \( f_{4} \) erzeugte Untergruppe.

Answer 1

Eine Menge von Funktionen mit der Verkettung als Vernüpfung
bildet immer eine Gruppe, wenn sichergestellt ist, dass
das Ergebnis je zweier verknüpfter Funktionen immer in der Menge ist
und dass es ein neutrales El. gibt und zu jedem ein Inverses.
Assoziativität ist bei Verkettung eh klar.

Da bildest du einfach mal alle Möglichkeiten

f1 ° f2 = f2 (denn wenn du f2 bei f1 einsetzt, hast du wieder f2)

f2 ° f3 =  1 / f3(x) =  1 / (1 - x)  = f4.
Am besten stellst du alles übersichtlich in einer Tabelle zusammen
etwa so. Die beiden vorgerechneten Fälle habe ich schon eingetragen

                  f1    f2     f3     f4         f5    f6

f1                      f2

f2                              f4

f3

f4

f5

f6

Dann wirst du sehen, dass immer wieder eins von f1 bis f6 herauskommt,
alle ist die Menge abegeschlossen gegenüber der Verkettung.

Das neutrale El. ist offenbar f1   und zu jedem ein Inverses wirst du auch sehen.

Ob kommutativ oder nicht siehst du daran, ob die Tabelle zur Hauptdiagonalen
symmetrisch ist oder nicht.

Dann bilde mal alle Potenzen von f4
also erst mal f4°f4   dann das Ergebnsi wieder  °f4 und das Ergebnis wieder etc.
irgendwann wiederholt sich was.
Diejenigen, die vorher entsanden sind bilden (inclusiv f4) die von f4 erzeugte
Untergruppe.

Comments

ich glaube ich mache was falsch, bei mir ist voll das durcheinander

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Brauchst du noch ein paar Beispiele ?

Probier doch mal sowas wie f3 ° f4  oder  f4 ° f5 etc. und

stell das rein. Da kann ich vielleicht helfen.

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achso ich setze bei x dann einfach die andere Funktion ein und schaue welche Funktion herauskommt?

wie meinst du das mit kommutativ?

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Du sollst doch auch prüfen, ob die Gruppe kommutativ ist.

dann muss z.B.   f3 ° f4  das gleiche Ergebnis haben wie f4 ° f3.

Das ist bei den Kompositionen nicht unbedingt immer so.

Du kannst es aber an der fertigen Tabelle ablesen.

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in der diagonalen sind f_1 bei mir nicht alle

bei f4°f4 erhalte ich f5

und bei f5°f5 erhalte ich f4

wo liegt denn dann die Hauptdiagonale?