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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge \( M=\{a, b, c\} \), versehen mit den Operationen \( \oplus: M \times M \rightarrow M \) und \( \odot: M \times M \rightarrow M \), gegeben durch

\( \oplus \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{c} \)\( \boldsymbol{a} \)
\( \boldsymbol{c} \)\( \boldsymbol{c} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{b} \)
\( \odot \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{a} \)
\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{b} \)\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{c} \)\( \boldsymbol{a} \)\( \boldsymbol{c} \)\( \boldsymbol{b} \)

als Addition bzw. Multiplikation, ein Körper ist.

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Den Tabellen entnimmst du:

Das Nullelement der Addition ist a.

Das Einselement der Multiplikation ist b.

Nun alle Körpereigenschaften an den beiden Tabellen überprüfen.

Alternative

Du kannst a=0, b=1 und c=2 setzen und siehst, ob

modulo 3 gerechnet werden kann. Dann hast du Z/3Z, von dem du vielleicht schon weisst, ob das ein Körper ist.

Avatar von 162 k 🚀

Kannst du bitte mal ein Beispiel für die akörpereigenschaft vorrechnen z.b Die Assoziativität bei der Addition

Wenn du Z/3Z nicht kennst, kannst/musst du alles durchrechnen:

(a+b)+c = b+c = a

a+(b+c) = a+a = a ok.

(b+b)+a = c+a = c

b+(b+a) = b+ b = c ok.

usw. alle Fälle, die dir hier so einfallen systematisch durchtesten. Die Summen jeweils in der Tabelle ablesen.

Wie würde das mit k/3k aussehen?

Stelle die Additions- und Multiplikationstabelle für Z/3Z auf und vergleiche dann mit den vorliegenden Tabellen. Achtung: Geht nur, wenn du Z/3Z schon kennst.

Ich verstehe nicht wie ich in der Tabelle a+b+c rechne

Hab ich dir doch vorgerechnet. Rechne von links nach rechts und lies ab.

a+b+c = (a+b) + c

Achse jetzt habe ich es verstanden danke

Aber reicht es nicht dass man nur das erste zeigt, also das( a+b) +c = a+(b+c) ist da die assoziativität doch besagt es gelte für alle x,y,z.  (X+y) +z = x+(y+z)

es gelte für alle x,y,z.  (x+y) +z = x+(y+z)

bedeutet, dass du für x, y und z beliebige Elemente des Körpers einsetzen musst. Durchaus auch x=y=z= a.

also (a+a)+a = a+(a+a) auch nachrechnen. Sind nicht so viele Fälle. Wenn du Kommutativität schon hast, musst du die Reihenfolge nicht mehr variieren. Ansonsten auch b+(a+c) = (b+a) + c nachrechnen.

Ok Danke, Und wie mach ich das mit dem inversen Element

a ist ja das neutrale Element bei Addition.

Nun suche jeweils eine Element in deinem Körper, s.d.

a + x = a

b+y = a

c + z = a

x, y und z sind dann die additiven inversen Elemente von a, b und c.

Vielen dank, in dem Fall wäre dann a das Inverse jeweils oder. ,

sorry. nein! Als Resultat muss da jeweils das neutrale Element der Addition also a stehen. Ich korrigiere das gleich oben noch.

Ok Danke, jetzt bräuchte ich nur noch Hilfe beim inversen der multiplikation

Das geht gleich. Suche das neutrale Element. Das ist hier b.

Und löse nun

a*x = b

b*y = b

c*z = b

Hat dann x eine Lösung ?

Richtig! Müsste es denn eine Lösung haben? Steht das in deiner Definition von Körper?

Hat in R die Gleichung 0*x = 1 eine Lösung?

Nein! Ein multiplikatives Inverses von a brauchst du offenbar nicht. Vgl. auch Punkt 2.4. der Definition hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)

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