Arctan(x) ableiten kam auf -1/sin^2(x)

Question

Das scheint mir aber falsch.

Was muss ich machen?

Answer 1

Du könntest z.B. wie folgt vorgehen

TAN(ARCTAN(x)) = x

TAN'(ARCTAN(x)) · ARCTAN'(x) = 1

ARCTAN'(x) = 1/TAN'(ARCTAN(x))

Merke: TAN'(x) = 1/COS(x)^2 = TAN(x)^2 + 1

ARCTAN'(x) = 1/(TAN(ARCTAN(x))^2 + 1)

ARCTAN'(x) = 1/(x^2 + 1)

Comments

Wie kommt man auf tan'(arctan(x)×arctan'x=1

???

Darf man nicht sagen arctan(x)=1/tan(x)?

Macht man das bei arc tan immer so?

---

TAN(ARCTAN(x)) = x

Ich leite beide Seiten der Gleichung ab. Links benutze ich die Kettenregel rechts ist die Ableitung trivial.

arctan(x)=1/tan(x) ist mit sicherheit verkehrt. ARCSIN ist die umkehrung vom Sinus und auch nicht 1/SIN(x)

---

Ok danke

Ich ube mal noch mehr aufhabrn

Answer 2

arctan ist ja die Unkehrung von tan.
Also nimmst du f(x) = tan(x) also y=tan(x) und dann den Satz von der Ableitung der
Umkehrfunktion (ich nenn die jetzt mal g):  also

dann gilt  g'(y)= 1 / f ' (x).        Nun ist aber f ' (x) = tan^2(x)+1

also   g ' (y) = 1 / ( tan^2(x) + 1 )   und wegen y=tan(x)
                      = 1 / (y^2 + 1)

oder wer es lieber mit x hat   g ' (x)  =  1 / (x^2 + 1)