Untervektorräume, Geraden: Zeichnen Sie V_{2} und iV_{2}

Question

Aufgabe - Untervektorräume, Geraden:

Für \( t \in \mathbb{R} \) sei \( V_{t}:=\{t(1-\lambda)+\mathrm{i}(\lambda+1)(t-1) \mid \lambda \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{C} . \) Sei \( \mathrm{i} V_{t}:=\left\{\mathrm{i} v \mid v \in V_{t}\right\} \)

(a) Zeichnen Sie \( V_{2} \) und \( \mathrm{i} V_{2} \).

(b) Berechnen Sie \( V_{t} \cap \mathrm{i} V_{t} \) für \( t \in \mathbb{R} \).

(c) Für welche \( t \in \mathbb{R} \) ist \( V_{t} \) ein Untervektorraum des reellen Vektorraums \( \mathbb{C} ? \)

(d) Für welche \( t \in \mathbb{R} \) ist \( V_{t} \) ein Untervektorraum des komplexen Vektorraums \( \mathbb{C} ? \)

Answer 1

für t=2 ist V2   (mit L statt Lambda)   (2-2L) + i(L+1)
im 2-dimensionalen Koordinatensystem also die Punkte ( 2-2L ;  L+1)
bzw   (2;1) + L(-2;1) Das ist die Gerade durch
(2;1) und (0/2) setz mal für L ein paar Zahlen ein, dann wirst du es erkennen.

und iV2 ist dann also  i* ( (2-2L) + i(L+1)) = i* (2-2L)   -  (L+1)
also Punkte (  -L-1  ;  2 - 2L)  =   (-1;2) + L * (-1 ;-2)
Gerade durch (-1;2) und (-2/0).also senkrecht zur 1. Geraden

b) t(1-L) + i(L+1)(t-1) = i*(   t(1-L) + i(L+1)(t-1)  )

t(1-L) + i(L+1)(t-1) = i* t(1-L)   -  1(L+1)(t-1) 
t - Lt + i( Lt + t - L -1 ) =  it - iLt   - ( Lt - L + t - 1)
t - Lt + i Lt + it - iL -i  =  it - iLt   -  Lt + L - t + 1
t  + i Lt  - iL -i  =   - iLt    + L - t + 1
2t + i2Lt -iL -i -L -1 = 0
2t-L-1    +   i( 2Lt   - L -1 ) = 0
also
2t = L+1           und   2Lt = L+1

also   2t = 2Lt
          2t-2Lt = 0
            2t * (1-L) = 0
d.h.  für t=0 gilt die Gleichung immer, d.h. die beiden Geraden fallen
zusammen, sie liegen an der gelciechen Stelle im Koordinatensystem

für t ungleich 0 gilt es nur für L=1, d.h. die Schnittmenge besteht nur
aus dem einen Punkt (der einen komplexen Zahl, die man für L=1 erhält.