Sechs Aufgaben mit Trigonometrie/Satz des Pythagoras lösen

Question

ich habe heute von meinem Mathelehrer paar Trigonometrie/Satz d. Pythagoras Aufgaben bekommen und habe sehr große Probleme dabei. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

 

1. Ein Strohhalm befindet sich im Wasserglas. Das Wasserglas ist 10cm hoch und hat einen Durchmesser von 5cm.

Wie lang ist der Strohhalm im Wasserglas bis zum Knick?

2. Ein Holzbalken mit 5,70m Länge soll in einem LKW zur Baustelle transportiert werden. Der LKW hat einen 5m   langen, und 2m breiten Laderaum.

Wie Hoch muss der Laderaum sein, damit der Balken hinein passt?

3. Eine Pyramide mit einer quadratischen Grundseite ABCD hat die Seitenlänge AB = 1m und die Höhe MN = 1m.

Wie lang ist die Seitenkante AN?

4. Berechne den Abstand der beiden Punkte.

a) A(-2 | 2) und B(3 | -2)
b) C(-4 | 1) und D(3 | 0)
c) E(1 | 2) und F(-2 | -2)

5. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 7 cm und die Kathete b = 5 cm lang.

a) Wie lang ist die Kathete a?
b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

6. Ein 10 m hoher Baum steht in 10 m Entfernung zum Haus. Am Haus steht ein Balkon in 3 m Höhe 2 m weit ab. Überprüfe rechnerisch, ob der Baum in 2 m Höhe abgesägt werden kann, ohne das der Balkon beschädigt wird.

 

Das wars erst mal, hoffe die Aufgaben machen sinn ohne irgendeine Skizze, weil hier auf dem Arbeitsblatt welche sind.

Answer 1

1. Ein Strohhalm befindet sich im Wasserglas. Das Wasserglas ist 10cm hoch und hat einen Durchmesser von 5cm. Wie lang ist der Strohhalm im Wasserglas bis zum Knick? 

√(10^2 + 5^2) = 5√5 = 11.18 cm

2. Ein Holzbalken mit 5,70m Länge soll in einem LKW zur Baustelle transportiert werden. Der LKW hat einen 5m   langen, und 2m breiten Laderaum. Wie Hoch muss der Laderaum sein, damit der Balken hinein passt?

√(5.7^2 - 5^2 - 2^2) = √349 / 10 = 1.868 m

3. Eine Pyramide mit einer quadratischen Grundseite ABCD hat die Seitenlänge AB = 1m und die Höhe MN = 1m. Wie lang ist die Seitenkante AN?

AN = √((AB/2)^2 + (AB/2)^2 + MN^2) = √((1/2)^2 + (1/2)^2 + 1^2) = √6 / 2 = 1.225 m

4. Berechne den Abstand der beiden Punkte. 

P1(x1 | y1) und P2(x2 | y2)

Abstand = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)

a) A(-2 | 2) und B(3 | -2) 

√((-2 - 3)^2 + (2 - (-2))^2) = √41 = 6.403

b) C(-4 | 1) und D(3 | 0) 

√((-4 - 3)^2 + (1 - 0)^2) = 5√2 = 7.071

c) E(1 | 2) und F(-2 | -2)

√((1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2) = 5

Comments

5. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 7 cm und die Kathete b = 5 cm lang. 

a) Wie lang ist die Kathete a? 

a = √(7^2 - 5^2) = 2√6 = 4.899 cm

b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. 

U = 7 + 5 + 4.899 = 16.90 cm

A = 1/2 * 5 * 4.899 = 12.25 cm^2

6. Ein 10 m hoher Baum steht in 10 m Entfernung zum Haus. Am Haus steht ein Balkon in 3 m Höhe 2 m weit ab. Überprüfe rechnerisch, ob der Baum in 2 m Höhe abgesägt werden kann, ohne das der Balkon beschädigt wird.

√(8^2 + 1^2) - 8 = √65 - 8 = 0.06226 m = 6.226 cm

Der rechnerische Sicherheitsabstand wäre dann 6 cm. Wenn das den Leuten langt spricht nichts dagegen den Baum zu fällen. 

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Danke dir Mathecoach, habe jedoch noch paar Fragen.

1) Wie kommt man auf den richtigen Gedankengang bei solchen Aufgaben(Thema Trigonometrie/Pythagoras) ? Was ich meine ist, wie weiß ich wie ich die Aufgaben lösen kann? z.B bei der Aufgabe 1) habe ich es so gerechnet:

s² = a² + h²

s² = 25 + 100

s² = 125 | √

s² = 11.2 ( oder auch 11.18)

Als du die ganzen Aufgaben sahst was war dein erster Gedanke oder Anhaltspunkt bzw. wonach hast du gesucht? Ich wüsste wirklich nicht ob ich nun minus oder plus rechnen muss bei den ganzen Aufgaben. Muss ich dafür nur die ganze Zeit solche Aufgaben rechnen bis ich sowas endlich kann oder ist sowas einfach logisches denken?

2) Bei Aufgabe 5b) hast du ja "A = 1/2 * 5 * 4.899 = 12.25 cm2" geschrieben, aber lautet die Formel für A nicht A = g * h / 2?

3) Bei einer Aufgabe über ein Rechtwinkliges Dreieck, woher weiß ich ob ich Sin/Cos/Tan anwenden muss ? Die Seiten kann ich benennen also Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse aber wenn z.B der Alpha Winkel angegeben ist plus die Ankathete und die Höhe (Gegenkathete) wird gesucht, woher weiß ich ob ich Sin/Cos/Tan anwenden muss?

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Der Satz des Phythagoras lautet ja eigentlich

(Kathete 1)^2 + (Kathete 2)^2 = Hypotenuse^2

Nun liegt die Hypotenuse ja dem Rechten Winkel gegenüber und ist damit auch die längste Seite. Ich löse jetzt die obere Gleichung mal zur Hypotenuse auf:

 

Hypotenuse = √((Kathete 1)^2 + (Kathete 2)^2)

Will man also die längste Seite haben muss man das Quadrat der beiden kleineren Seiten addieren und daraus die Wurzel ziehen. Klingt logisch. Die längste Seite ergibt sich als Addition der kleineres Seiten.

Ok. Lose ich das ganze doch mal zur Kathete 2 auf:

 

Kathete 2 = √(Hypotenuse^2 - (Kathete 1)^2)

Wenn ich also die Kathete haben will, ziehe ich vom Hyponenusenquadrat das Qudrat der Kathete ab und nehme daraus die Wurzel.

Klar eine kleine Seite bekommen wir indem man die längste Seite nimmt und davon etwas subtrahiert.

Es ist übrigends egal welche Kathete die Kathete 1 und die Kathete 2 in der Formel ist. Man kann also mit der Formel jede beliebige Kathete ausrechnen solange die Hypotenuse und die andere Kathete gegeben ist.

Wenn ich also eine Aufgabe sehe überlege ich zuerst wo da das rechtwinklige Dreieck ist. Dann überlege ich wo die Hypotenuse ist. Alles andere sind Katheten. Und dann frage ich was auszurechnen ist und stelle die Formel auf.

Kleiner Tipp. Lern die Formel nicht mit a^2 + b^2 = c^2. erstmal dauerst es viel zu lange sich dann zu überlegen was a, b und c ist. Außerdem hat man schlechte Karten wenn a, b und c zufällig gegeben sind und c ist nicht die Hypotenuse. Dann wird die Rechnung oft verkehrt.

Und klar ein wenig Training kann natürlich nicht Schaden. Nimm einfach Deine Aufgaben und gehe die Selber durch und probiere mal meine Vorgehensweise.

Oben habe ich ja noch die Formel für den Dreidimensionalen Phythagoras gemacht. Also die Formel für die Raumdiagonale eines Quaders. Da ist die Raumdiagonale die längste Seite und wir haben drei Seiten die ich mal mit Seite 1, Seite 2 und Seite 3 bezeichne.

Raumdiagonale = √((Seite 1)^2 + (Seite 2)^2 + (Seite 3)^2)

Seite 3 = √(Raumdiagonale^2 - (Seite 1)^2 - (Seite 2)^2)

Vielleicht erkennst du hier auch das Schema. Hat man die längste Strecke gegeben subtrahiert man davon die anderen Sachen. Braucht man eine die längste Seite addiert man alle anderen Seiten.

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2) Bei Aufgabe 5b) hast du ja "A = 1/2 * 5 * 4.899 = 12.25 cm2" geschrieben, aber lautet die Formel für A nicht A = g * h / 2?

Ja die Formel lautet A = g * h / 2 oder 1/2 * g * h

Da Grundseite und Höhe aber einen rechten Winkel einschließen kann ich für die Grundseite eine Kathete und für die Höhe die andere Kathete nehmen.

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3) Bei einer Aufgabe über ein Rechtwinkliges Dreieck, woher weiß ich ob ich Sin/Cos/Tan anwenden muss ? Die Seiten kann ich benennen also Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse aber wenn z.B der Alpha Winkel angegeben ist plus die Ankathete und die Höhe (Gegenkathete) wird gesucht, woher weiß ich ob ich Sin/Cos/Tan anwenden muss?

Es gibt nur den Tangend der die Gegenkathete mit der Ankathete in Verbindung bringt, daher ist dann der Tangens anzuwenden. Ich schaue also entweder auf die Seiten die ich gegeben habe oder wenn ich nur eine Seite gegeben habe schaue ich auf diese und die Seite die ich ausrechnen will. Das verrät mir dann ob es sin, cos oder tan sein muss.

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Danke für den informativen text, Mathecoach! Sehr gut erklärt, müsste jetzt kaum noch Probleme haben in diesem Thema! ^.^