ganzzahlige Vektoren, Vektorraum, Primzahl

Question

Wir betrachten die ganzzahligen Vektoren

a = (7, 16) und b = (11, 30)  im ℚ-Vektorraum ℚ².

Zu jeder Primzahl p > 0 erhalten wir durch Übergang ¨zu Kongruenzklassen Vektoren

a_p = ([7], [16]) und b_p = ([11], [30]) im F_p-Vektorraum F²_p.

 Finden Sie durch Probieren zwei Primzahlen p > 0, für welche ¨

a_p, b_p ∈ F²_p ein Erzeugendensystem bilden, sowie zwei Primzahlen, für welche das nicht gilt.

Wie muss ich da denn vorgehen? Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.

Answer 1

wenn du anfängst zu probieren, merks du schon, dass für p=1
die beide vektoren zu ( 1,0) werden
durch x*(1,0) + y*(1,0) bekommst du aber immer nur sowas wie (x+y)*(1;0)
also kannst du keinen vektor mit 2. Komponente 1 so darstellen,
also bilden die beiden kein erz-sys.

Comments

Frage:

Meinst du mit p=1 die Zahl 1(überhaupt primzahl?) oder die erste Primzahl ,also 2?

Wie kommt man auf (1,0)? man muss doch a und b jeweils modulo der Primzahl>0 rechnen oder?
heißt bei p=5 ist a=(2,1) und b=(1,0)?

dann: x*(2,1)+y*(1,0) = (2x,x)*(y,0) . Wie kann man hier beweisen ,das jeder Vektor auf mindestens eine Weise  Linearkombination ist?

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Pardon, nicht p=1 sondern erste Primzahl p=2

Wie kommt man auf (1,0)? man muss doch a und b jeweils modulo der Primzahl>0 rechnen oder?

ja und wenn du a = (7, 16) und b = (11, 30)  jeweils modulo 2 nimmst,

kommst du doch auf (1,0) bei beiden.

also ist p=2 ein Fall, bei dem es kein Erz.Sytem wird.

heißt bei p=5 ist a=(2,1) und b=(1,0)? genau !

dann: x*(2,1)+y*(1,0) = (2x,x)*(y,0) . Wie kann man hier beweisen ,das jeder Vektor auf mindestens eine Weise  Linearkombination ist?

besser anders herum :

Sei (a,b) das Element, was zu erzeugne ist.

dann muss man x,y angeben mit x*(2,1)+y*(1,0) = (a,b)

also (2x,x)+(y,0)= (a,b)

bzw  (2x+y ,  x  ) = (a,b)

und das geht, wenn du für x=b und für y=a-2x=a-2b nimmst.

Also ist p=5 ein Fall, bei dem ein Erz.syste. gibt

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Aahhh. OK
Hab jetzte P= 5 und 7 für Primzahlen die ein Erzeugendensystem bilden, aber nur p=2 für eine Primzahl die das nicht tut.
Gibt es da überhaupt eine zweite? Weil ab P=31 bleiben a=(7,16) und b=(11,30) , und davor habe ich nihts gefunden.

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Da habe ich auch nichts mehr gefunden.

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Ist es überhaupt möglich, da noch eine Primzahl zu finden, die kein Erzeugendensystem liefert?

Wenn man sich die Primfaktorzerlegung der Zahlen anschaut, sieht man ja, dass nur 16 und 30 einen gemeinsamen Primfaktor besitzen, nämlich die 2 (die ja wie schon gezeigt kein Erzeugendensystem liefert).
Das heißt aber auch, dass man in den Primkörpern nur einmal zwei Nullen bekommt (für p=2).

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Könnte sein.

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"kommst du doch auf (1,0) bei beiden.

also ist p=2 ein Fall, bei dem es kein Erz.Sytem wird."

Wieso genau kann es  kein Erzeugendensystem bei p=2 sein :o ich entschuldige meine Unwissenheit bin in das Vektoren Thema nicht so gut rein gekommen....

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p=13 müsste kein Erzeugendensystem sein.

da a₁₃=(7,3) und b₁₃=(11,4) sind.

Versuch damit mal den Vektor (1,0) darzustellen müsstest dann das LSG:

7*v+11*u=1

3*v+4*u=0

lösen. Als Matrix:

7 11 | 1

3  4  | 0

Aus der ersten Zeile folgt, dass v=1,4 und u=-0,8 ist, da:

7*1,4+11*(-0,8)=1 ist,

aber für die zweite Zeile: 3*1,4+4+(-0,8)=1 und somit ungleich null.

Ich weiß nicht, man (1,0) jedoch noch anders darstellen kann.

MfG Kilsi