Sägezahnfunktion, Gauß-Klammern, Funktion

Question

Sägezahnfunktion s:ℝ→ℝ ist definiert durch s(x)= |[x + (1/2)] - x|,  wobei [.] die Gauß-Klammer bezeichnet.

Habe im Internet etwas nachgelesen und dort stand, dass man bei den Gauß-Klammern irgendwas abrundet. Habe es aber nicht ganz verstanden, also wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte. Und ich weiß auch nicht wie ich mit denen rechnen soll.

Aufgabe geht aber leider noch weiter, ich soll zeigen:

1) für |x| ≤ 1/2 gilt s(x) = |x|

2) s(x+n) = s(x) für alle x ∈ ℝ, n ∈ ℤ

3) die Funktion s(x) ist stetig

Wäre nett, wenn jemand helfen kann und/oder auch Ansätze zum Weiterrechnen geben könnte

->

1) wenn |x| ≤ 1/2, ist dann s(x) nicht 1/2  und nicht |x|, wie dort beschrieben ?

Comments

Erst mal zu 1):

Kann es sein, dass du die Bedingung falsch aufgeschrieben hast? Wie habt ihr die Gauß-Klammer definiert, nach der mir bekannten Definition wäre für \(x=\frac{1}{2}\) nämlich

$$ s(\frac{1}{2}) = | \lfloor 1 \rfloor - x| = |1 - x| \neq |x|~. $$

Naja auf jeden Fall gilt für \(|x| \leq \frac{1}{2}\) und \(x\neq \frac{1}{2}\):

\(0 \leq x + \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor= 0\).

Was folgt damit für \(s(x)\)?

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Gilt auch für \(x= \frac{1}{2}\), hatte n Brett vorm Kopf^^

Also die Gaußklammer ist ja so definiert für \(x\in \mathbb{R}\): \(\lfloor x \rfloor :=  max(z\in\mathbb{Z} : z \leq x)\). D.h. es wird einfach \(x\) abgerundet. Was passiert, wenn du nun \(s(x+n)\) mit \(n\in\mathbb{N}\) betrachtest? Kannst dir das ganze vielleicht auch mal für \(f(x) = x - \lfloor x \rfloor \) anschauen. Einfach mal den Graphen zeichnen.

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In der Vorlesung haben wir folgendes definiert:

"x ∈ ℝ, [x] := max{k ∈ ℤ : k ≤ x} das heißt [x] = x für x ∈ ℤ

[2,4] = 2 , [-3,5] = -4" (ich denke mal das sollte ein Beispiel sein)

Was ist mit "abrunden" gemeint ? Bei so Zahlenbeispielen, ist es ja offensichtlich, aber wenn ich mit z.B. eine der oberen Aufgaben angucke, sagt mir das nicht viel.

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Es funktioniert genau so wie bei Zahlenbeispielen auch, nur kann man es halt nicht weiter vereinfachen. Was du dir klar machen musst für den zweiten Aufgabenteil ist: \( \lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1\) bzw. \( \lfloor x - 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor -1\). Und statt \(1\) kannst du auch \(z \in \mathbb{Z} \) nutzen.

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Tut mir leid, dass ich das alte Fass aufmache aber mich interessiert wie man nun die dritte Aufgabe bewiesen hat.

Würde mir jemand das kurz darstellen.

Danke

Answer 1

Sägezahnfunktion s:ℝ→ℝ ist definiert durch s(x)= |[x + (1/2)] - x|,  wobei [.] die Gauß-Klammer bezeichnet.

Habe im Internet etwas nachgelesen und dort stand, dass man bei den Gauß-Klammern irgendwas abrundet. Habe es aber nicht ganz verstanden, also wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte. Und ich weiß auch nicht wie ich mit denen rechnen soll.

Aufgabe geht aber leider noch weiter, ich soll zeigen:

1) für |x|   <= 1/2 gilt s(x) = |x|      

2) s(x+n) = s(x) für alle x ∈ ℝ, n ∈ ℤ

3) die Funktion s(x) ist stetig

Gaussklammer bedeutet bei positiven Zahlen einfach: lass alles weg, was hinter dem Komma steht:

also [1,2364]  = 1  und        [  3,14   ]= 3           und [  5] = 5      und  [0,8765] = 0

wenn nun x <0,5     ist, dann ist ja x+1/2    < 1 also   [ x+1/2  ] = 0 

und also  s(x)= |[x + (1/2)] - x|   =  |  0 -   x  =  | -x | = x  

und für x=1/2 ist s(1/2) = |[(1/2) + (1/2)] - (1/2)|  = | 1 - (1/2) | = 1/2

                  also immer   s(x) = | x|

Comments

Setze ich für x=1/2 ein, dann ist s(x) = x Aber da steht ja x ≤ 1/2. Wenn ich also was kleineres einsetze (hab ebene in paar Beispiele durchgerechnet) kommt ja trotzdem 1/2 raus. Ist dann die erste Aussage nicht falsch mit "für |x| ≤ 1/2 gilt s(x) = |x|" ?

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setz doch mal 0,1 ein:

s(0,1)= |[0,1 + 0,5] - 0,1 |   =   |  [ 0,6] - o,1 | = | 0 - 0,1 | = | -o,1 | = 0,1   also gleich x

und so ist es bei jedem zwischen o und o,5

dann ist ja x+1/2    < 1 also   [ x+1/2  ] = 0 

und also  s(x)= |[x + (1/2)] - x|   =  |  0 -   x  =  | -x | = x  

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Streng genommen ist für \(x=0.5\) ja \(s(x)=x\) richtig. Aber das bedeutet ja eben \(s(0.5) = 0.5 = |0.5|\).
Für \(|x|<0.5\) einfach noch mal das was oben steht durchlesen, dann ist \(x+0.5 < 1\) und damit \(\lfloor x  + 0.5 \rfloor = 0\).

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Ah...hab nicht an die Gauß-Klamern gedacht. Hab aus Gewohnheit gerechnet, wie mit normalen eckigen Klammern aus der Schule. Oh jeeee

Ok, dann macht die Aussage natürlich Sinn. 

Danke an euch beide!

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Noch ein Tipp zu 3):

Du hast in 1) bewiesen, dass für \(|x| \leq \frac{1}{2}:s(x)=|x|\).

In 2) hast du bewiesen, dass die Funktion periodisch ist. Mit diesen beiden Aussagen kannst du begründen, dass es reicht zu zeigen, dass \(|x|\) stetig ist, und das ist ziemlich leicht.

Beachte dabei folgende Ungleichung: \(\Big(|)  |x| - |y| \Big(|) \leq |x-y|\)

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

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Zu 2. Periodische Funktionen hatten wir noch nicht.

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Ach periodische Funktionen kennt man aus der Schule und ist ja auch ziemlich anschaulich, gerade wenn man mal den Graphen von \(s\) betrachtet

https://www.wolframalpha.com/input/?i=|floor%28x%2B1%2F2%29-x|&dataset=

Da sieht man ja was Sache ist und wenn du dann einfach begründest, dass es deshalb reicht, die Stetigkeit von \(|x|\) zu zeigen und das machst ist das bestimmt in Ordnung. Schließlich zielt die Aufgabenstellung ja auch genau auf diese Erkenntnis ab, also die Aufgabe verlangt ja fast schon, dass man das so macht^^

Außerdem vermute ich aufgrund meiner hellseherischen Fähigkeiten, dass folgender Wikipedia-Artikel für dich interessant und hilfreich sein könnte:

https://de.wikipedia.org/wiki/Thomaesche_Funktion