Folge mit limes n gegen unendlich

Question

Sei (a_n) ein Folge in ℝ mit a_n ≥0 für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie: Wenn lim n→∞ a_n=a, dann gilt lim n→∞ √a_n=√a.

Hinweis: binomische Formel verwenden

Answer 1

lim n→∞ a_n=a,  folgt

(an - a) ist eine Nullfolge   mit 3. binomi. Fo

(√(an) - √(a) )  *  ( √(an) + √(a) ) ist eine Nullfolge.

da die zweite Folge ( √(an) + √(a) )  nur Folgenglieder > als √(a) hat

ist  (√(an) - √(a))  =  (an - a)   *  1 / (√(an) - √(a) ) 

=    Nullfolge mal beschränkte Folge

also Nullfolge

Comments

hey, kannst du bitte nochmal erklären, warum

"da die zweite Folge ( √(an) + √(a) )  nur Folgenglieder > als √(a) hat

ist  (√(an) - √(a))  =  (an - a)   *  1 / (√(an) - √(a) ) "

Du darauf schließen kannst?

und ich verstehe auch nicht wirklich warum man die Aufgabe damit gelöst hat. Du hast doch nur gezeigt, dass
wenn eine folge die gegen null konvergiert, die wurzel dieser folge auch gegen null konvergiert ? oder etwa nicht..

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da war ich wohl was flott!

Besser ist   "da die zweite Folge ( √(an) + √(a) )  beschränkt ist"

und das stimmt, weil jede konvergente Folge beschränkt ist also die

√(an) beschränkt sind und √(a) ist eh immer die gleiche Zahl.

und Nullfolge * beschränkte Folge gibt Nullfolge.

Du hast doch nur gezeigt, dass
wenn eine folge die gegen null konvergiert, die wurzel dieser folge auch gegen null konvergiert ? oder etwa nicht..

nicht genau:  wenn  an-a eine Nullfolge ist, dann ist √(an)-√(a) auch eine Nullfolge.

Aber wenn eine Folge von Differenzen der Art:  Folgenglied - feste Zahl

eine Nullfolge ist, dann ist die feste Zahl der Grenzwert der Folgenglieder.