Grenzwertaufgabe berechnen: 3. Wurzel(x)*ln(x)

Question

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln (x)= \cdots \)

Meine Lösung:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln (x)=x^{\frac{1}{3}} \ln (x)=0 \cdot \ln (0) \)

\( = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot x} \)

\( =\frac{1}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0+} x^{\frac{2}{3}} x=\frac{1}{3} x^{-\frac{3}{3}+1}=\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}= 0\)

Habe ich alles richtig gemacht?

Answer 1

Hi immai,

warum hast Du Dir die erste Zeile angeschaut, wenn Dich das dortige offensichtlich ohnehin kalt lässt?

Die erste  Zeile  ist doch unnötig, wenn Du sie nicht berücksichtigst.

Aus der ersten Zeile solltest Du eigentlich erkennen, dass der Fall "0*∞" vorliegt. Das bedeutet für Dich, dass erst eine  Umformung stattfinden muss, bis l'Hospital angewendet werden darf.

lim ln(x) / (x^{-1/3}) = lim (1/x) / (1/3*x^{-4/3}) = lim 1/3*x^{1/3} = 0

Grüße

Comments

Ah ich wusste nicht das man das mit dem ableiten nur über, l'hospital mit bruchen darf.

Ah ok alles klar.

Was ist wenn ich haben sollte

Lim(x->unend) x*sinx (oder stat sinus e^{x}

Dann?

X*sinx= unebdlich?

Und bei

X*e^{x} wieder unendlich?

Also einfach einsetzen?

Danke

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Über ersteres (sin(x)*x) kannst Du keine Aussage treffen, da es nicht bestimmt divergiert. sin(x) schwankt ja zwischen -1 und 1.

Für x*e^{x} strebt das ganze bei x->∞ aber in der Tat nach ∞. Hat aber nichts mit l'Hospital zu tun?!

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Ja hat auch nichts damit zutun, aber bevor du es mir gesagt hättest, wuerde ich hier vielleicht ableiten.

Lim x*sin(x) wieso nichts bestimmtes?

Sin scheangt zwischen 1 und minus 1 aber der faktor mal x

Was macht dann der?

Bei lim sin(x)+x wäre es aber unendlich oder? Fuer x gegen unendlich?

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Ja, letzteres ist richtig.

Aber wenn Du x*sin(x) hast und das sin(x) ist mal 1 oder -1 in seinen Extrema...dann ändert sich doch auch das Vorzeichen von x...

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Ich habe rs mal einzeichnen lassen und

Die schwingung wird 8mmer grosser?

Also der streckfaktor

W8rd es dann nicht dann auch unendlich gross? Immer mit abstand halt?

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Schon, aber einmal in negativer Richtung und einmal in positiver Richtung...

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Ah ok

Wenn es für plus unendluch wäre, hätte ich recht mit plus unendlich?

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Wenn was für plus unendlich wäre?

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Lim(x->unendlich)x*sin(x)

Im dem fall.

Oder nixht?

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Davon haben wir es doch die ganze Zeit :(.

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S4y ich meinte lim(x-> + unrndlich) für diesen fall?

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Wo, bitte schön, ist der Unterschied zwischen ∞ und +∞. Also, dass das nicht klar ist, ist ... gefährlich! Das ist aber absolllutttteee Grundlage!

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Also plus unendlich meinte ich in der x achse postive richtung.

Geht das nicht?

Das ich nur d8e positive richtung betrachte und die negate a7sser acht lasse?

Geht so eine aufgabe nicht?

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Hallo? Du hast das mit den Grenzwerten scheints nicht verstanden. Du solltest vor der Herangehensweise an l'Hospital mal die absoluten Grundlagen nachschlagen.

Du schaust doch schon längst in positive Richtung, zumindest ist x -> ∞ sehr positiv.

Und Du kannst ohne Aufforderung nicht einfach den negativen Teil wegfallen lassen. Ich mein dann kannste die Aufgabe von Anfang an bleiben lassen.

Was aber richtig ist, ist, dass es für x -> ∞ y betragsmäßig immer größer wird. Also der Abstand zur x-Achse bei den Extrema immer größer wird, je weiter Du nach rechts gehst.

Das hast Du doch schon im Graphen gesehen? ;)

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Ja im graphen habe ich das gesehen.

Zudem nur das postive betrachten, meinte ich ja auch sozusagen was wäre wenn die aufgabe so lauten Wuerde.

Wie z.b x^2 ist es ja injektiv für die rechte seite.

Da trennt man ja auch.

Oder wo liegt das problem?

Vllt konnte ich mich nicht rueber bringen^^

Du sagtest ja es ist divergent

Und meine frage war

Wenn die aufgabe nur die (also neue aufgabenstellung) positive oder nur negativ anschauen wuerde . Ob man dann eine genaue antwort geben darf?

Ansonsten ist mir das mit dem unendlich symbol allea klar^^

Sie betrachtet ja alles von minus bis plus unendliche.

Danke

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Wenn die aufgabe nur die (also neue aufgabenstellung) positive oder nur negativ anschauen wuerde . Ob man dann eine genaue antwort geben darf?

Ansonsten ist mir das mit dem unendlich symbol allea klar^^

So wird eine Aufgabenstellung nie lauten. Abgesehen davon, dass die Formulierung wohl eher bzgl x verstanden wird!

Und selbst wenn der untere Teil der x-Achse einfach abgeschnitten wird (was eine unwahrscheinliche Aufgabenstellung ist :P) hätten wir keine bestimmte Divergenz, da unter anderem Häufungspunkte bei x = 0 zu finden sind.

Vergiss also das Ganze mit "Wenn aber die Aufgabenstellung anders lauten würde". Tut sie nicht!

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Yokai!(auf japanisch zu befehl oder alles klar^^)

M8r ist auch

1+ und 1- nicht ganz klar

Ist es beim losen nicht gle8ch?

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1+ und 1- nicht ganz klar

Was ist das? Worauf bezieht sich das?

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Ich meinte ist der Lösungweg immer gleich also e8nfach einstzen ein simpler beisiel

Lim(x->1+) x und dann minus 1

Was ist dann die antworrt darauf?

Danke

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Solange es keine Problemstelle ist, kannste einsetzen, bei f(x) = 1/(x-1) wäre das aber nicht möglich.

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Lim x

Ist dann loessung = 1+ oder 1-?

Oder e8nfach nur 1?

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Du meinst für lim(x->1⁺) x? Da ergibt sich einfach 1.

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Und wenn 1- dran wäre?

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Selbiges. \(\)

Answer 2

Das soll doch d'Hospital sein, oder?

Das mit den Ableitungen geht aber nur bei Quotienten.
Du must also aus  3.Wuzel(x)  *  ln(x)
erst mal nen Quotienten machen, z.B. so

ln(x)    /    x^{-1/3} dann hats du den Fall -unendlich durch +unendlich, dann ableiten