f(x) = x^2*e^{-x} - Extrempunkte berechnen

Question

ich berechne nun die Extrempunkte der Funktion f(x)=x^2*e^-x

Wäre die ABleitung so richtig:
f'(x)=2x*-e^-x    

Danach Nullsetzen: 0= 2x*-e^-x    da die efunktionnie null wird einfach weglassen?

0=2x

0=x

Danach f(0)=(2*0)+e^-0

= 1

EP (0/1)

Letzlich: f"(0)= 2*e^-x

= 2   also TP (0/2)

Ist das so richtig ? Wenn nein bitte anmerken, was falsch ist. Danke.

Answer 1

Hi,


Nein, die Ableitung ist nicht richtig. Du musst die Produktregel anwenden ;)

Produktregel lautet allgemein:

f'(x)= u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)

Wähle:

u(x)= x²

u'(x)= 2x

v(x)= e^-x

v'(x)= -e^-x

Nun in die Formel einsetzen

f'(x)= 2x*e^-x-e^-x*x²

Du kannst ausklammern, also vereinfachen zu

f'(x)= e^-x(2x-x²)

Extrema:

f'(x₀)=0

e^-x(2x-x²)

Satz vom Nullprodukt. Wisse auch, dass die E-Funktion niemals Null wird ;)

2x-x²=0

x₁= 2 und x₂=0

kommst Dun nun alleine weiter?

Comments

Danke, dass du es so ausführlich aufgeschrieben hast :)

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Hab ich gerne gemacht ^^ :)

Answer 2

nein, die Ableitung ist nicht korrekt. Stichwort Produktregel.

f(x) = x^2*e^{-x}

f'(x) = 2x*e^{-x} - x^2*e^{-x} = e^{-x} * (-x^2+2x)

Zweite Ableitung auch gleich:

f''(x) = (x^2-4x+2)e^{-x}

f'(x) = 0

x^2-2x = 0

x(x-2) = 0

x = 0  und x = 2

Damit in die zweite Ableitung zum Überprüfen ob Max oder Min vorliegt und dann in f(x)

H(2|0,54)

T(0|0)

Grüße

Comments

Wenn ich 0 und 1 aber in die zweite Ableitung eingebe, kommt bei mir folgendes raus:

f''(x) = (0²-4*0+2)e^-0

        ^{=2    -> TP}

f''(2) = (2²-4*2+2)e^-2

=ca -0.27   -> Hp

Also in den Taschenrechner eingetippt..

Wie bist du auf 0 und 0.54 gekommen ?

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Das mag richtig sein. Da hast Du ja nur gezeigt, dass es sich um TP und HP handelt. Um den y-Wert zu bestimmen musst Du die x-Werte aus der ersten Ableitung in f(x) einsetzen ;).

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O ich Dummerchen, danke :D

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Jetzt kann ich dir auch Recht geben :D
Dankee

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Kannst du mir kurz noch mit der dritten Ableitung helfen, damit ich mden Wendepunkt berechnen kann?
Ich hab erstmal die zweite Ableitung null gesetzt undhabe mit der pq-formel x1= -0.586 und x2= -3.414 rausbekommen.

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Probiers mal selbst. Ich schau auch drüber ;).

Nimm meine zweite Ableitung als Vorlage:

f''(x) = (x²-4x+2)e^-x

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so richtig? : f'''(x)= 2x-4)*e^-x - e^-x * (x^2-4x+2)

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Yup sehr gut. Jetzt noch zusammenfassen ;).

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e^-x(-2x-2+x^2) so ??

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Du hast wohl die Minusklammer nicht berücksichtigt.

Vielmehr so: f'''(x) = (-x^2+6x-6)e^{-x}

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Ou, ok danke.

Ich muss ja erst so vorgehen um den Wendepunkt zu berechnen:

Ich hab erstmal die zweite Ableitung null gesetzt und habe mit der pq-formel x1= -0.586 und x2= -3.414 rausbekommen. Wäre das richtig ?

danach muss ich ja halt in die dritte Ableitung die xwerte eintragen und hätte dann zwei wendepunkte raus ?

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Bei der pq-Formel musst Du nen Vorzeichenfehler haben. Habe das gleiche nur positiv ;).

Die beiden x-Werte dann in die dritte Ableitung. Ist die ungleich 0, dann sinds wirklich Wendepunkte. Für die y-Werte aber wieder in f(x) einsetzen.

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Kein Problem.

Zur Kontrolle:

W(0,586|0,191)

W(3,414|0,384)

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Hä, ich hab nachgeguckt und ich hab irgendwie kein Vorzeichenfehler entdecken können:
(-4/2) +wurzel (4/2)^2-2  =-0.586

(-4/2) -wurzel (4/2)^2-2   =-3.414

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a okay ich glaub ich habs ich hab die minus vor der  4 missachtet

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Es muss 4/2 ... heißen, denn -p/2 lautet die Formel mit p = -4 ;).

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Meine Ergebnisse sind ungleich Null, also keine Wendepunkte, stimmts?

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Das Gegenteil ist der Fall.

Es braucht f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0 ;).