Aufgabe:
(a) Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:
\( \begin{array}{r} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ -4 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}=0 \end{array} \)
(i) Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}^{3} \), die dieses Gleichungsystem lösen. Geben Sie explizit die Lösungsmenge \( L \) an.
(ii) Die Lösungsmenge \( L \) eines homogenen linearen Gleichungssystems kann auch als Untervektorraum des \( x \in \mathbb{R}^{3} \) aufgefasst werden. Geben Sie für diesen Untervektorraum eine Basis an.
(iii) Ermitteln Sie die Dimension von \( L \).
(b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( x \in \mathbb{R} \) den Kern der Matrix
\( A=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 2 & -6 & 8 \\ 3 & 3 & -9 & 8 \\ 1 & 1 & x & 4 \end{array}\right] \)
Ansatz:
Im ersten Teil erkennt man dass die beiden Vektoren Vielfache voneinander sind. Es gibt somit unendlich viele Linearkombinationen. Bei der b) habe ich die Stufenform aufgestellt und wie erkenne ich nun den Kern?
