Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

Question

Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), definiert durch \( a_{1}=1 \) und \( a_{n+1}= \) \( \sqrt{1+\frac{a_{n}^{2}}{3}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Answer 1

die folge konvergiert, wenn sie beschränkt und monoton ist.

1. Beschränktheit: Zeige es gibt ein \( M \in \mathbb{R} \), so dass \(a_n \leq M \quad \forall n \geq 1\)

2. Monoton (in diesem Fall) wachsend: Zeige \( a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \geq 1\)

Wenn du die Konvergenz nachgerechnet hast kannst du den Grenzwert durch die Beziehung

$$ \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} = a = \lim \limits_{n \to \infty} a_n $$

berechnen.

Gruß