Aussagen über Primfaktoren überprüfen...

Question

Aufgabe:

Es sei \( R=\mathbb{Z} \) oder \( R=K[X] \) für einen Körper \( K . \) sind die folgenden Aussagen stets wahr?

a) Für \(p \in \mathbb{P}_R\), \(a, b \in R \setminus \{0\}\) gilt: Wenn \(a \mid b\) gilt, dann gilt auch \(\nu_p(a) \leq \nu_p(b)\).

b) Für \(p \in \mathbb{P}_R\), \(a, b \in R \setminus \{0\}\) gilt \(\nu_p(a b) = \nu_p(a) \, \nu_p(b)\).

c) Für \(p \in \mathbb{P}_R\), \(a, b \in R \setminus \{0\}\) gilt \(\nu_p(\operatorname{kgV}(a, b)) = \max{\{\nu_p(a), \nu_p(b)}\}\).

d) Für \(p \in \mathbb{P}_R\) gilt \(\nu_p(1) = 1\).

Nachtrag: v_p steht für die Primfaktorzerlegung (Nachtrag (Doesbaddel): \(\nu_p\) steht für die p-adische Ordnung, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_order)

Comments

Was genau ist R? Die Menge der reellen Zahlen?

Die haben doch im Allgemeinen keine Primfaktorzerlegung. (?)

Was bedeuten denn die v ?

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Es sei \(R = \mathbb Z\) oder \(R = K[X]\) für einen Körper \(K\). Sind die folgenden Aussagen stets wahr?

v_p steht für die Primfaktorzerlegung. Genauer weiß ich auch nicht. Ich hoffe, das reicht aus, sodass du es beantworten kannst.

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@Lu Die ganzen Zahlen und die Menge der Polynome über einem Körper werden mit R bezeichnet weil sie Ringe sind.

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Yakyu: Danke. Das erste Bild habe ich oben nach dem Kommentar eingefügt.

Primfaktoren von Polynomen ordnen?

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Das wäre eine meiner Fragen:(

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@AlbertXStein: Gib mal eine vernünftige Definition für \( v_p (a) \). Ist es die größte Potenz \(k\) so dass

\( p^k | a \) gilt....?

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Wird jetzt korrekt gerendert und ein Link für die unübliche Notation wurde eingefügt.