in einen Raum mit Mass 1 ist $$||f||_p$$ eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass $$\lim_{p \rightarrow} ||f||_p=||f||_{\infty}$$ muss man zeigen dass das $$||f||_{\infty}$$ das Supremum ist, oder nicht?
Um das zu zeigen, behaupten wir das das $$||f||_{\infty}-\epsilon$$ das Supremum ist.
Vom wesentliche Supremum hat man $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0$$
Also, müssen wir zeigen dass $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0$$
Sei $$A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}$$
Wir haben dass $$\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p$$
$$\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)$$
Also, $$m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}$$
Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?
