Vollständige induktion Leibnitztegel - Beweis

Question

Es seien \( f, g: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) zwei Funktionen, die in \( D n \)-mal differenzierbar sind.

Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach \( n \) die sog. Leibnitzregel:

\( \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}(f(x) g(x))=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x) \)

wobei \( f^{(0)}=f \) bedeutet.

Ansatz/Problem:

Ich verstehe gar nicht was wird hier mit f^{0}=f  gemeint? bedeutet das, dass mein Induktionsanfang n=1 oder n=0?

Comments

Ihr habt höchstwahrscheinlich auch mal den binomischen Lehrsatz schon mal bewiesen. Schau dir den Beweis noch mal an und lass dich davon inspirieren ;)

Answer 1

\( f^{(0)} = f \) soll in der Notation einfach als die normale Funktion verstanden werden (0.te Ableitung sozusagen...).

Induktionsanfang würde ich bei n=1 machen weil da ja erst die Ableitungen beginnen :). Dann noch bisschen mit Produktregel arbeiten und du schaffst die Induktion.

Gruß