Question

Beweisen Sie: det(En + v*w^t) = 1 + v^t*w

Wobei det = Determintante, En die Einheitsmatrix mit Rang n, v und w Vektoren ∈ ℝ^n.

Dankde für die Mühe :-)

Comments

v ist ein Spaltenvektor v1, v2, .... vn

w^t ist ein Zeilenvektor w1, w2,.... wn

Dann ist

v*w^t =

[ v1*w1, v1*w2, ...... v1*wn

[v2*w1, v2*w2,......,v2*wn

.....

[vn*w1, vn*w2,....., vn*wn]

Nun En + obige Matrix =

[ v1*w1 + 1, v1*w2, ...... v1*wn

[v2*w1, v2*w2 + 1,......,v2*wn

.....

[vn*w1, vn*w2,....., vn*wn + 1]

Davon berechnest du nun die Determinante (Ich hoffe, du kennst die möglichen Verfahren). Dabei sollte nach der möglichen Vereinfachung nur noch die Behauptung übrig bleiben.

Answer 1

Hi,
ganz so einfach wie Lu es sagt ist es eben doch nicht. Die Behauptung folgt aber direkt aus Sylvesters Determinanten Theorem, was besagt, wenn
$$ A \in M_{p,n}(\mathbb{R}) $$ und
$$ B \in M_{n,p}(\mathbb{R}) $$ dann gilt
$$ (1) \quad det\left(E_p+AB\right) = det\left(E_n+BA\right) $$
wobei \( E_n \) (n x n) die Einheitsmatrix ist.

Wähle \( A = v \in M_{n,1}(\mathbb{R}) \) und \( B = w^T \in M_{1,n}(\mathbb{R}) \)
dann gilt nach (1)
$$ det\left( E_n + v \cdot w^T \right) = det\left( E_1 + w^T \cdot v \right)=1+w^T \cdot v = 1 + v^T \cdot w $$
was zu beweisen war.

Den Beweis für (1) findet man unter
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_determinant_theorem