Man berechne: XA+En und det(A + En).

Question

Sei A ∈ ℝ^nxn nilpotent, d.h., es existiert k so dass A^k = 0.

Man berechne: X_A+En und det(A + E_n).

Answer 1

Hi,
für kommutative Matrizen \( A \) und \( N \) mit \( N \) nilpotent gilt
$$ \chi_{A+N}(x) = \chi_A(x) $$ und $$ \det(A+N) = \det(A) $$ siehe http://www.blu7.com/Skripte/Lineare_Algebra_II_SS02_Skript.pdf Satz 11.16,

wobei \( \chi_A(x) \) das charakteristische Polynom von \( A \) ist.

Das angewandt auf Deine Aufgabe ergibt

$$ \chi_{A+E_n}(x) = \chi_{E_n}(x) =\det( E_n - x E_n) = (1 - x)^n  $$ und $$ \det(A+E_n) = \det(E_n) = 1 $$